¿Cuál es el casco convexo del rango- $k$ ¿Matriz PSD?

Question

¿Cuál es el casco convexo (envoltura convexa) del siguiente conjunto no convexo? $$\left\{X \succeq 0 \mid \mbox{rank}(X) = k \right\}$$

Si además requerimos $X=VV^T$ , donde $V^T V = I$ y $V$ es $n \times k$ . Entonces el casco convexo del conjunto anterior es

$$\left\{X \mid 0 \preceq X \preceq I, \mbox{Trace}(X) = k \right\}$$

Ver este . Pero para el rango general- $k$ Matriz PSD, ¿qué es el casco convexo?

Se trata de un problema interesante, pero aún está abierto.

Answer 1

Si se asume que el $X$ son herméticos, entonces hay una respuesta directa.

Dejemos que $E=\{ X | X \ge 0, X^* = X, \operatorname{rk} X = k \} $ , $G=\{ X | X \ge 0, X^* = X, \operatorname{rk} X \ge k \}$ .

Entonces tenemos $\operatorname{co} E = G$ .

Si $X_k \ge 0$ y $\lambda_k >0$ con $\sum_k \lambda_k = 1$ entonces $\ker (\sum_k \lambda_k X_k) \subset \cap_k \ker X_k$ . De ello se desprende que $\operatorname{rk}(\sum_k \lambda_k X_k) \ge k$ y así $G$ es convexo (mostrando $\sum_k \lambda_k X_k \ge 0$ es sencillo), y como tenemos $E \subset G$ entonces $\operatorname{co} E \subset G$ .

Supongamos ahora que $X \in G$ . Dejemos que $r=\operatorname{rk} X$ . Si $r=k$ entonces $X \in E$ Así que supongamos que $r>k$ . Podemos escribir $X=U \Lambda U^*$ , donde $\Lambda = \operatorname{diag} \{ \lambda_1,...,\lambda_r,0,\cdots, 0 \}$ y $\lambda_i >0$ . Podemos escribir $\Lambda = {1 \over 2}\operatorname{diag} \{ \lambda_1,...,\lambda_{r-2},0,2\lambda_r,0,\cdots, 0 \} + {1 \over 2}\operatorname{diag} \{ \lambda_1,...,\lambda_{r-2},2\lambda_{r-1},0,0,\cdots, 0 \}$ por lo que, por inducción, debería estar claro que debería estar claro que podemos escribir $\Lambda = \sum_p \mu_p \Lambda_p$ , donde $\Lambda_p \in E$ y el $\mu_p$ son multiplicadores convexos. Por lo tanto, $X = \sum_p \mu_p U\Lambda_pU^* \in \operatorname{co} E$ .

Dependiendo de su definición, $G$ es, de hecho, un cono convexo. No incluye el "punto $0$ .