Las formas modulares de peso integral son prominentes en la teoría de números. Además, existen $\theta$ -funciones y el $\eta$ -función, teniendo peso 1/2, que también tienen una rica teoría.
Pero nunca he visto una forma modular de peso, por ejemplo, 1/3.
Llevo mucho tiempo preguntándome esto. ¿Existen ejemplos de formas modulares de pesos fraccionarios que no sean múltiplos de 1/2? Y si es así, ¿hay alguna razón por la que estén poco estudiadas?
No soy un experto en esto, pero creo que las formas modulares de peso fraccionario (por ejemplo, de peso 1/3) aparecen de forma más natural como formas sobre coberturas metaplécticas de GL(2) (por ejemplo, sobre la cobertura cúbica) y sobre campos que contienen las raíces de la unidad pertinentes (por ejemplo, las terceras raíces de la unidad). Kubota, hacia 1970, inició el estudio de estas cubiertas, y unos años más tarde Patterson inició el estudio de las formas sobre ellas. Los dos trabajos de Patterson aquí parecen ser un buen punto de partida. Más tarde, Patterson, solo o junto con Heath-Brown, aplicó los nuevos conocimientos a viejos objetos de la teoría de los números, como las sumas de Gauss y Kummer; véase, por ejemplo aquí y aquí . Patterson y Kazhdan, en 1984, generalizaron en gran medida el trabajo de Kubota a las cubiertas metaplécticas de GL(r), véase aquí .
En definitiva, creo que la teoría general es bastante complicada desde el punto de vista técnico, lo que explica que haya tan pocos que la conozcan. Sin embargo, las formas de peso fraccionario son sin duda una parte orgánica de la teoría de los números, pero aparecen de forma más natural en los espacios simétricos de mayor rango.
Las formas automórficas viven naturalmente en los puntos adelíticos de un grupo algebraico reductor (módulo de puntos racionales y un subgrupo compacto que da el nivel). Se puede interpretar que las formas automórficas de pesos fraccionarios como formas automórficas que viven en una cubierta topológica del grupo adélico, como en los trabajos metaplécticos clásicos mencionados anteriormente. En este sentido, el tratamiento más moderno se encuentra en el trabajo de Brylinski-Deligne . El único trabajo relacionado con la aritmética parece ser debido a Marty Weissman . El documento de Brylinski-Deligne funciona igualmente bien sobre campos de funciones y sería interesante ver sus conexiones con los trabajos de Lafforgue.
Las formas modulares de peso 1/2 son en realidad bastante prominentes en geotemática (no puedo hablar de la teoría de números). Por ejemplo, las funciones theta de segundo orden (que codifican información sobre puntos de orden dos en variedades abelianas, por ejemplo) son de peso 1/2. Dan un mapa natural e importante de una cierta cobertura del espacio de moduli de las variedades abelianas (concretamente $\mathcal{A}_g^{(2n,4n)}$ ) en el espacio proyectivo que es inyectivo para $n\geq 2$ . Aquí hay algunas referencias para las funciones theta de segundo orden:
Las variedades de Kummer y los espacios de moduli de las variedades abelianas - van Geemen y van der Geer
El libro de Igusa sobre las funciones Theta
Conferencias Tata de Mumford sobre Theta.
Estudio de Grushevsky sobre el problema de Schottky (muchas cosas sobre el problema de Schottky implican funciones theta de 2º orden)
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