serie de potencias del recíproco... ¿existe una fórmula recursiva para los coeficientes

Question

Dejemos que $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty } b_nx^n$ y $\frac{1}{f(x)}=\sum _{n=0}^{\infty } d_nx^n$ . Entonces los coeficientes del recíproco de $f(x)$ puede escribirse. Los primeros términos son:

$d_0 = \frac{1}{b_0}$ ,

$d_1 = -\frac{b_1}{b_0^2}$ ,

$d_2 = \frac{b_1^2-b_0 b_2}{b_0^3}$

$d_3 = -\frac{b_1^3-2 b_0 b_1 b_2+b_0^2 b_3}{b_0^4}$

...

Me preguntaba si existe una fórmula general recursiva (preferiblemente no, por supuesto) para los coeficientes del recíproco. Si un arbitrario $n$ está dado, ¿puedo escribir una fórmula para $d_n$ (recursivo o no)?

Saludos

//edit: como sugieren los comentarios de abajo, creo que la gente está malinterpretando la pregunta. No busco que alguien me muestre cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales por sustitución... Quiero una fórmula para d_n, Desde que publiqué la pregunta, encontré tal fórmula para $d_n$ en http://functions.wolfram.com/GeneralIdentities/7/ Si alguien sabe cómo se deriva esta fórmula o cualquier otra referencia a ella o fórmulas similares, por favor, hágamelo saber... gracias

Answer 1

Sin pérdida de generalidad podemos tomar $b_0$ sea 1, ya que \begin{equation*}\sum_{n=0}^\infty b_n x^n = b_0\biggl( 1+\sum_{n=1}^\infty (b_n/b_0)x^n\biggr). \end{equation*} Entonces para $b_0=1$ tenemos \begin{equation*} \frac1{f(x)} = \biggl( 1+\sum_{n=1}^\infty b_n x^n\biggr)^{-1}\\ =\sum_{m=0}^\infty (-1)^m\biggl( \sum_{n=1}^\infty b_n x^n\biggr)^m. \end{equation*} Expandiendo por el teorema del multinomio y extrayendo el coeficiente de $x^n$ da \begin{equation*} \frac1{f(x)} = \sum_{n=0}^\infty \kern 3pt x^n \kern -5pt \sum_{m_1+2m_2+3m_3+\cdots = n} (-1)^{m_1+m_2+\cdots} \binom{m_1+m_2+\cdots}{m_1, m_2, \ldots} b_1^{m_1} b_2^{m_2}\cdots.\end{equation*}

Answer 2

Supongamos que $b_0=1$ para simplificar las cosas. Quieres una fórmula cerrada para la secuencia definida recursivamente $$d_0=1$$ $$d_n=-\sum_{k=0}^{n-1}d_kb_{n-k}. $$ Dejemos que $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_r)\in \mathbb{N}_ +^\omega$ sea un multiíndice con longitud $l(\alpha):=r$ y el peso $|\alpha|:=\sum_{j=1}^r\alpha_j$ . Denotemos $b_\alpha:=b_{\alpha_1}\dots b_{\alpha_r}$ .

Tenemos (inducción) $$d_n:=\sum_{|\alpha|=n}(-1)^{l(\alpha)}b_\alpha. $$

Por supuesto, hay varios términos iguales en la suma, debido a la conmutatividad; sumando términos iguales, un conjunto de índices más pequeño correspondiente sería los multiíndices crecientes (el número de términos en la suma sería entonces el número de particiones $p(n)$ ).