Cuántas soluciones hay para la ecuación: $x_1+x_2+x_3=12$
donde: $2\le x_1 \le5$ , $0 \le x_2 \le 3$ y $1 \le x_3 \le 4$ ?
No sé cómo resolverlo cuando hay límites inferiores y superiores para las variables $x_1, x_2, x_3$ .
Respuesta
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El problema es equivalente a enumerar las soluciones enteras de $y_1+y_2+y_3=9$ donde $0\le y_1 \le3$ , $0 \le y_2 \le 3$ y $0 \le y_3 \le 3$ . Así que sólo hay una solución $3+3+3=9$ .
Si sustituimos $12$ con $9$ cuando tenemos que resolver $y_1+y_2+y_3=6$ . Si $0\leq y_1\leq y_2\leq y_3\leq 3$ entonces las soluciones son: $$0+3+3=6,\quad 1+2+3=6,\quad 2+2+2=6.$$ y, por simetría, el número total de soluciones es $3+3!+1=10$ .
