topología del producto simétrico n y propiedad universal

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico, y $n$ un número natural. Definir Sym $^{n} X,$ el $n$ -producto simétrico doble de $X,$ para ser el conjunto de clases de equivalencia de $n$ -tuplas $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ bajo la relación $$ \left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \sim\left(x_{\pi(1)}, x_{\pi(2)}, \ldots, x_{\pi(n)}\right) $$ siempre que $\pi$ es una permutación de $\{1, \ldots, n\} .$ Existe una función suryectiva $q: X^{n} \rightarrow \operatorname{Sym}^{n} X$ tomando una $n$ -a su clase de equivalencia. Dotar a Sym $^{n} X$ con la topología del cociente (co-inducción).

Dar $\mathbf{C}$ la topología habitual. Demuestre que la continua $\operatorname{map} f: \mathbf{C}^{2} \rightarrow \mathbf{C}^{2}$ dado por $f(x, y)=(x+y, x y)$ factores como

para alguna biyección continua $h$

Mi estrategia:

Obviamente, si $(a,b)\sim (c,d)$ entonces $f(a,b)=f(c,d)$ . Así, por la propiedad universal de $\text{Sym}^2C$ existe una única función continua $h:\text{Sym}^2C\rightarrow C^2$ s.t. $f=h\circ q$ .

Pero, ¿cómo mostramos $h$ es biyectiva?

Answer 1

Esto no es realmente una cuestión de topología. Es un hecho puramente algebraico sobre campos algebraicamente cerrados. De hecho, la inyectividad se mantiene para dominios arbitrarios.

Para demostrar la inyectividad, hay que demostrar que un par de números complejos está determinado por su suma y su producto.

Si escribe $s$ y $p$ para la suma y el producto, respectivamente, entonces los elementos del par satisfacen $x+y=s$ y $xy=p$ por lo que cada elemento satisface $x(s-x)=p$ . Ahora bien, esta ecuación tiene a lo sumo dos soluciones posibles $x$ y cada uno de ellos produce el correspondiente $y$ . Si hay dos soluciones, elegir la otra equivale a intercambiar $x$ y $y$ , por lo que el par desordenado sigue siendo el mismo.

Para la subjetividad, hay que demostrar que dado $s$ y $p$ , puede encontrar un $x$ tal que $p=x(s-x)$ es decir, que la ecuación $x^2-sx+p=0$ tiene una solución. Pero esto es claramente cierto para $\mathbf C$ (como lo es para cualquier campo algebraicamente cerrado, o simplemente cualquier campo sin extensiones de campo cuadráticas).

(En caso de que tengas curiosidad, para obtener un enunciado general para productos simétricos más grandes, debes utilizar polinomios simétricos elementales en lugar de $x+y$ y $xy$ .)

Answer 2

Definir $h$ primero por $h([(x,y)] = f(x,y)$ ; no hay opción, debido a la propiedad de factorización.

Supongamos que $h([(x,y)])=h([(x',y')])$ . Así que $x+y=x'+y'$ y $xy = x'y'$ . Ahora demuestre que $x=x'$ y $y=y'$ o $x=y'$ y $y=x'$ que en ambos casos significa $(x,y) \sim (x',y')$ así que $[(x,y)]= [(x',y')]$ .

Tenga en cuenta que $x,y$ son las dos únicas raíces de $p(t):=(t-x)(t-y)=t^2+at+b=0$ (como un polinomio en $t$ por lo que los coeficientes son $a=x+y$ y $b=xy$ ) y el correspondiente polinomio para $x',y"$ es el mismo $p(t)$ (!). Por unicidad hasta el orden de las raíces de un polinomio cuadrado $\{x,y\}=\{x',y\}$ ; ambos son iguales al conjunto $\{t\mid p(t)=0 \}$ etc.

La subjetividad es bastante sencilla, basta con observar que $f$ es, y así $h$ también lo es.