Haz tangente de un grupo algebraico

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico lineal sobre un campo $k$ . Creo que el haz tangente debería ser la gavilla $Der(\mathcal{O}_G,\mathcal{O}_G)$ que es isomorfo al dual de los diferenciales. Sin embargo, también existe el conjunto $\displaystyle G\left(\frac{k[\epsilon]}{(\epsilon^2)}\right)$ que parece merecer de alguna manera el nombre de "haz tangente", aunque ni siquiera sea una gavilla. ¿Puede alguien aclarar la relación entre estos dos objetos?

Answer 1

El mapa canónico $k[\epsilon]\to k$ induce un mapa $G(k[\epsilon])\to G(k)$ y tenemos una secuencia exacta $$0\to \mathrm{Lie}(G) \to G(k[\epsilon])\to G(k)\to 1.$$ Esto puede tomarse como una definición de $\mathrm{Lie}(G)$ . Se sabe que $\mathrm{Lie}(G)$ tiene canónicamente una estructura de $k$ -y es isomorfo al espacio tangente $T_{G, e}$ de $G$ en la unidad $e\in G$ .

Por otro lado, el haz tangente $T_{G/k}$ (el dual de los diferenciales) es libre (como $O_G$ -) y satisface $$T_{G/k}\simeq \mathrm{Lie}(G)\otimes_k O_G \simeq T_{G,e}\otimes_k O_G.$$