Cómo calcular $\mathbb{E}\left(\varPhi^{2}\left(\frac{W_{s}}{\sqrt{1-s}}\right)\right)$ ?

Question

¿Cómo podemos calcular $$\mathbb{E}\left(\varPhi^{2}\left(\frac{W_{s}}{\sqrt{1-s}}\right)\right)$$ donde $W$ denota un proceso de Wiener, y $\varPhi$ es la FDA de la variable aleatoria normal estándar... Si $\varphi$ denota la PDF de la variable normal estándar, entonces $$\mathbb{E}\left(\varPhi^{2}\left(\frac{W_{s}}{\sqrt{1-s}}\right)\right)=\int_{\mathbb{R}}\varPhi^{2}\left(\frac{x}{\sqrt{1-s}}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}e^{-\frac{x^{2}}{2s}}dx=\int_{\mathbb{R}}\varPhi^{2}\left(\frac{x}{\sqrt{1-s}}\right)\frac{1}{\sqrt{s}}\varphi\left(\frac{x}{\sqrt{s}}\right)dx=...?$$ No puedo continuar...

Answer 1

Dejemos que $$M_t = \Phi \left( \frac{W_t}{\sqrt{1-t}} \right) = g(t, W_t)$$ donde $g(t,x) =\Phi \left( \frac{x}{\sqrt{1-t}} \right)$ . Afirmamos que $M_t$ es una martingala. Primero, observe que $\Phi^\prime (s) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( \frac{s^2}{2} \right)$ y $\Phi^{\prime \prime}(s) = - \frac{s}{\sqrt{2 \pi}}\exp \left( \frac{s^2}{2} \right)$ . Además, $$\begin{align*} g_x(t,x) &= \frac{1}{\sqrt{1 - t}} \Phi^\prime \left( \frac{x}{\sqrt{1 - t}} \right) \\ g_t(t,x) &= \frac{x}{2\sqrt{1 - t}(1-t)} \Phi^\prime \left( \frac{x}{\sqrt{1 - t}} \right) \\ g_{xx}(t,x) &= \frac{1}{1-t} \Phi^{\prime \prime}\left( \frac{x}{\sqrt{1 - t}} \right) \end{align*}$$

Desde aquí, puede comprobar que $g_t(t,x) + \frac{1}{2}g_{xx}(t,x) = 0$ para que $M_t$ es sin deriva y, por lo tanto, una martingala local. De hecho es una verdadera martingala al observar que $$dM_t = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{1-t}} \exp \left( - \frac{W_t^2}{2(1 - t)} \right) dW_t$$ y observando que el integrando (al estar acotado) pertenece a $L^2 (\Omega \times [0,T])$ para $T < 1$ .

La dinámica de $M_t^2$ están dadas fácilmente por el lema de Itô: $$d(M^2)_t = (dM_t)^2 + 2M_t(dM_t) = \frac{1}{2\pi (1-t)} \exp \left( - \frac{W_t^2}{1-t} \right) dt + \text{martingale}$$

Así que $$E(M_t^2) = M_0^2 + \int_0^t \frac{1}{2\pi (1-s)} E\exp\left( -\frac{W_s^2}{1-s}\right) ds$$ La expectativa interna se evalúa como $$E\exp\left( -\frac{W_s^2}{1-s}\right) = E\exp\left( -\frac{s}{1-s}W_1^2\right) = \left( \frac{1+s}{1-s} \right)^{-1/2} = \sqrt{ \frac{1-s}{1+s} }$$ Donde en la segunda igualdad hemos evaluado el MGF de $W_1^2 \sim \chi^2(1)$ en el punto $- \frac{s}{1-s}$ .

A partir de aquí, la expectativa es un ejercicio de cálculo estándar que le dejo a usted.