Una heurística es que un entero $n$ es primo con "probabilidad" de uno en $\ln n$, y así se puede estimar la suma con su valor "esperado":
$$ \sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p}
\approx \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln k} \approx \int_2^n \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x} \approx \ln \ln n$$
De hecho, la Meissel-Mertens constante está dada por
$$ M = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p} - \ln \ln n \right) $$
Otra heurística es que el $n$-ésimo primo es aproximadamente $n \ln n$, por lo que
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} \approx \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln k} \approx \int_2^n \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x} \approx \ln \ln n$$
(el límite inferior está ajustado para hacer la suma bien definida, que bien desde el primer par de términos aportar un valor fijo, y contribuir así a la suma total en un asintóticamente insignificante manera)
Tenga en cuenta que estos dos heurísticas son compatibles:
$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} = \sum_{\substack{p \leq p_n \\ p \text{ prime}}}
\frac{1}{p} \approx \ln \ln p_n \approx \ln \ln (n \ln n)
= \ln(\ln n + \ln \ln n) \approx \ln \ln n$$
así que la diferencia entre la primera $n$ primer recíprocos" y "el primer recíprocos de los números primos menos de $n$" es asintóticamente insignificante. De hecho, se puede estimar
$$ \sum_{\substack{n \leq p \leq p_n \\ p \text{ prime}}}
\frac{1}{p} \approx \ln \ln p_n - \ln \ln n = \ln \frac{\ln p_n}{\ln n}
\approx \ln \frac{\ln n + \ln \ln n}{\ln n}
\\ = \ln\left(1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n}\right) \approx \frac{\ln \ln n}{\ln n}
$$
