Hay una función que puede restar de la suma de reciprocals de números primos para hacer convergente la serie

Question

La constante gamma es definida por una ecuación donde la serie armónica se resta por el logaritmo natural:

$$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)\right)$$

Es bien sabido que tanto la serie armónica por sí mismo y la suma de reciprocals de números primos es divergente.

¿Hay una función conocida que cuando restada de la suma de reciprocals de números primos hace la resultante serie convergente?

Hay una función $f(x)$ que hace la siguiente serie convergente:

$$\lim_{n \rightarrow \infty }\left(\sum_{p\text{ is a prime }}^n \frac{1}{p} - f(n)\right)$$

Answer 1

Sí es una constante asociada a la suma de los recíprocos de los números primos. En particular Mertens demostró \infty$\sum_{p \text{ prime } \le x} \frac1p - \log\log(x)$$converges to a constant as$x\to. Este es un resultado de 1874.

He encontrado el resultado en un papel:

CONSTANTE de EULER: trabajo y progresos modernos - por JEFFREY C. LAGARIAS de EULER

Papel de Mertens se titula: Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie

Answer 2

La forma más fácil de ver que $$-\log n+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} $ $ es convergente es escribir como$$ -\log\left(1+\frac{1}{n}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\right) y ver que $\frac{1}{k}-\log\left(1+\frac{1}{k}\right)=O\left(\frac{1}{k^2}\right)$. De la misma manera, $$ \sum_{p}\left(\frac{1}{p}-\log\left(1+\frac{1}{p}\right)\right) es convergente segura.

Answer 3

Una heurística es que un entero $n$ es primo con "probabilidad" de uno en $\ln n$, y así se puede estimar la suma con su valor "esperado":

$$\sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p} \approx \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln k} \approx \int_2^n \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x} \approx \ln \ln n$$

De hecho, la Meissel-Mertens constante está dada por

$$M = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{\substack{p \leq n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p} - \ln \ln n \right)$$

Otra heurística es que el $n$-ésimo primo es aproximadamente $n \ln n$, por lo que

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} \approx \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \ln k} \approx \int_2^n \frac{\mathrm{d}x}{x \ln x} \approx \ln \ln n$$

(el límite inferior está ajustado para hacer la suma bien definida, que bien desde el primer par de términos aportar un valor fijo, y contribuir así a la suma total en un asintóticamente insignificante manera)

Tenga en cuenta que estos dos heurísticas son compatibles:

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} = \sum_{\substack{p \leq p_n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p} \approx \ln \ln p_n \approx \ln \ln (n \ln n) = \ln(\ln n + \ln \ln n) \approx \ln \ln n$$

así que la diferencia entre la primera $n$ primer recíprocos" y "el primer recíprocos de los números primos menos de $n$" es asintóticamente insignificante. De hecho, se puede estimar

$$\sum_{\substack{n \leq p \leq p_n \\ p \text{ prime}}} \frac{1}{p} \approx \ln \ln p_n - \ln \ln n = \ln \frac{\ln p_n}{\ln n} \approx \ln \frac{\ln n + \ln \ln n}{\ln n} \\ = \ln\left(1 + \frac{\ln \ln n}{\ln n}\right) \approx \frac{\ln \ln n}{\ln n}$$

Answer 4

Suma de números primos recíprocos,

$$\sum_{p \le n}{\frac1{p}} = C + \ln\ln n + O\left(\frac1{\ln n}\right)$$

Por lo tanto $\ln \ln n$ ajusta a la ley.