Confusión sobre $1/|\vec{p}|$ en el operador de helicidad

Question

El operador de helicidad se define como $$ h = \frac{1}{|\vec{p}|} \vec{\sigma} \cdot \hat{\vec{p}} $$

Uno de los primeros ejercicios en QED es comprobar si esto conmuta con el Hamiltoniano de Dirac. Si se plantea la cuestión, todo el mundo dirá (o los libros lo insinuarán), que $1/|\vec{p}|$ es "sólo un número" (de ahí que no haya sombrero en esa parte). Hace años cuando hice el curso de electrodinámica cuántica no le presté mucha atención, pero ahora he vuelto a revisar este concepto y estoy confundido.

Sabemos que $\hat{\vec{p}} = - i \hbar \vec{\nabla}$ por lo que para encontrar un operador que corresponda a $|\hat{\vec{p}}|$ significaría encontrar un operador que, aplicado dos veces, diera $- \hbar^2 \Delta$ . La gente suele encogerse de hombros como algo innecesario y que $|\vec{p}|$ debe entenderse como un simple número real.

$1/|\vec{p}|$ puede ser "sólo un número" sólo si el estado al que aplicamos este operador es un estado propio del operador de momento (es decir, una onda plana). Se puede demostrar entonces (en la representación p, donde cualquier operador compuesto por $\vec{p}$ se interpreta como multiplicación), que $1/|\hat{\vec{p}}|$ da $1/|\vec{p}|$ .

Además, si es tan fácil encogerse de hombros en todo este asunto sobre $1/|\vec{p}|$ Al ser sólo un número, ¿por qué Dirac se obsesionó tanto con encontrar la raíz cuadrada de la ecuación de Klein-Gordon? Podría decir simplemente "bueno, cualquier cosa aquí es sólo un número, así que enchufamos los números correspondientes y luego sacamos la raíz cuadrada".

¿Alguien tiene alguna respuesta satisfactoria para aclarar mi confusión? Por favor, si creen que la tienen, les pido que calculen el siguiente conmutador $$ \left[ 1/|\hat{\vec{p}}|, x_i \right] $$

Answer 1

Creo que lo he descubierto.

En cuanto a $1/|\vec{p}|$ al ser sólo un número esto está permitido, ya que el Hamiltoniano para las partículas libres no contiene posición, sólo momento ( $H = \vec{\alpha} \cdot \hat{\vec{p}} + \beta m$ ), por lo que la operatividad de $1/|\vec{p}|$ no es importante.

Sin embargo, todavía es posible (y potencialmente útil) discutirlo como un operador. He intentado derivar algunas relaciones de conmutación como ejercicio y es posible

$$ \left[ x_i, | \hat{\vec{p}} | \right] = \frac{i \hbar \hat{p}_i}{\left| \hat{\vec{p}} \right|} $$

$$ \left[ x_i, 1/| \hat{\vec{p}} | \right] = - \frac{i \hbar \hat{p}_i}{\left| \hat{\vec{p}} \right|^3} $$

Ejemplo de cómo se puede demostrar el primero: utilizamos el hecho de que, por muy complicado que sea un operador, siempre da el valor propio apropiado en ondas planas $e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}}$ .

$$ \left[ x_i, | \hat{\vec{p}} | \right] f (\vec{x}) = \left( x_i |\hat{\vec{p}}| - |\hat{\vec{p}}| x_i \right) \int \mathrm{d}^3 k \, f (\vec{k}) \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} = \\ = x_i \int \mathrm{d}^3 k \, f(\vec{k}) \left( | \hat{\vec{p}} | e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} \right) - \int \mathrm{d}^3 k \, \left( - i \frac{\partial f}{\partial k^i} \right) \left( | \hat{\vec{p}} | e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} \right) = \\ = x_i \int \mathrm{d}^3 k \, (\hbar k) \, f (\vec{k}) \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} - i \int \mathrm{d}^3 k \, (\hbar k) \, \frac{\partial f}{\partial k^i} \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} = \\ = x_i \int \mathrm{d}^3 k \, (\hbar k) \, f (\vec{k}) \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} + i \int \mathrm{d}^3 k \, \left( \frac{\hbar k_i}{k} + i \hbar k x \right) f (\vec{k}) \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} = \\ = i \hbar \int \mathrm{d}^3 k \, \left( \frac{k_i}{k} \right) f (\vec{k}) \: e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}} = \frac{i \hbar \hat{p}_i}{\left| \hat{\vec{p}} \right|} f (x) $$

En la primera línea sólo escribí el conmutador y expandí la función en ondas planas, en la segunda línea usé eso $\left\langle k \right| \hat{x} \left| \psi \right\rangle = i \partial_k \, \psi (k)$ en la cuarta línea he integrado por partes (desechando el término de frontera, ya que $f$ se va a cero tan rápido como sea necesario) y finalmente interpreté la integral en la última línea como el resultado. Cualquier $p$ -el operador relacionado puede ser tratado así:

$$ \left[ x_i, f(| \hat{\vec{p}} |) \right] = i \hbar \, f^\prime (| \hat{\vec{p}} |) \frac{\hat{p}_i}{\left| \hat{\vec{p}} \right|} $$