Existe una amplia literatura sobre la clasificación de los grupos lineales finitos sobre diversos campos. Sobre los campos complejos o reales, todos los grupos lineales finitos son conjugados a subgrupos del respectivo grupo unitario u ortogonal, por lo que, como se ha señalado en uno de los comentarios anteriores, estudiar los grupos finitos de isometrías en este contexto es lo mismo que estudiar todos los subgrupos finitos de ${\rm GL}(n,\mathbb{C})$ o ${\rm GL}(n,\mathbb{R}).$ Como señaló Richard Borcherds, esto pronto se convierte en un complicado problema. Pero desde el nacimiento de la teoría de la representación se han desarrollado estrategias para abordar el problema (para los campos generales) difícil como es, de una manera sistemática. Discutiré los casos reales y complejos. En general, queremos concentrar la atención en los grupos lineales que no pueden ser descritos de alguna manera "obvia" en términos de grupos lineales en dimensiones más pequeñas. La primera reducción, entonces, es concentrarse en los grupos irreducibles, aquellos que no dejan ningún subespacio propio no nulo invariable. El teorema de Maschke nos dice que no se pierde ninguna información en la reducción. Otra cuestión, para las representaciones reales, es qué cambia si extendemos los escalares al campo complejo, donde la vida es generalmente más fácil. Un grupo lineal real irreducible puede convertirse en reducible cuando los escalares se cuando los escalares se extienden a los números complejos (esto sólo ocurre cuando su carácter tiene norma cuadrada $2$ o $4$ ). En cada caso, el grupo lineal real finito es isomorfo a un grupo lineal complejo finito en la mitad de la dimensión original. Así que ahora sólo hablo de grupos lineales complejos finitos. Como se ha señalado en un comentario anterior, la siguiente reducción natural es al caso de los grupos lineales primitivos grupos lineales primitivos, aquellos que (hasta la equivalencia) no pueden ser inducidos a partir de grupos lineales de menor dimensión. Hay fuertes restricciones en los subgrupos normales de los grupos lineales primitivos finitos. En particular, la estructura de los grupos lineales finitos solubles primitivos es muy estricta, y está bien entendida. Habiendo reducido al caso primitivo (de vuelta al grupo finito general), la siguiente pregunta es si el módulo subyacente es un producto tensorial de dos módulos no triviales de menor dimensión. En este punto, puede ser necesario tomar extensiones centrales (todavía finitas) del grupo con el que se empezó. Si hay una factorización tensorial no trivial, entonces nos reducimos a las preguntas en dimensión menor. Si no hay tal factorización (incluso permitiendo extensiones centrales), entonces la estructura de los grupos residuales es muy restringida. La representación dada puede La representación dada puede ser "inducida por un tensor" a partir de una representación (de menor dimensión) de un subgrupo propio. La inducción tensorial fue introducida por Serre. Si no se puede inducir el tensor a partir de una representación de menor dimensión (de nuevo, incluso permitiendo extensiones centrales), entonces la única posibilidad que es un subgrupo de una extensión central del grupo de automorfismo de un grupo simple finito (que contiene todos los automorfismos internos). Muchos matemáticos, por ejemplo, Guralnick, Tiep, Zalesski, han calculado representaciones complejas (relativamente) poco dimensionales de (extensiones centrales de) grupos simples finitos en los últimos años. Mi respuesta es, por tanto, que sí, es una cuestión difícil pero que puede ser abordada sistemáticamente en cualquier caso, y para la que se dispone de mucha teoría teoría está disponible en la literatura matemática. Adenda: Al igual que resulta poco práctico enumerar todos los grupos de un orden finito relativamente pronto, y tenemos que contentarnos con entender los "bloques de construcción", es decir, los grupos simples finitos, lo mismo ocurre con los grupos lineales finitos. grupos lineales finitos. Hay tres tipos de bloques de construcción para los grupos lineales complejos finitos: a) Grupos lineales cíclicos unidimensionales. b) Grupos lineales complejos finitos $G$ de dimensión $p^{n}$ para algún primo $p$ y enteros $n > 0$ , que tienen una normal irreducible $p$ -subgrupo $E$ (extraespecial de orden $p^{2n+1}$ y exponente $p$ cuando $p$ es impar; ya sea extraespecial o el producto central de un grupo extraespecial de orden $p^{2n+1}$ con un grupo cíclico de orden $4$ cuando $p = 2.$ ). En este caso, $G/EZ(G)$ es isomorfo a un subgrupo irreducible del grupo simpléctico finito ${\rm Sp}(2n,p)$ . c) Grupos lineales complejos finitos $G$ de grado $m$ que tienen un cuasisimple irreducible subgrupo $S$ ( esto significa que $S = S^{\prime}$ y $S/Z(S)$ es un grupo simple no abeliano). Entonces $G/SZ(G)$ es un subgrupo del grupo de automorfismo externo de $S/Z(S)$ . El tercer tipo de bloque de construcción naturalmente no ocurre para los grupos lineales solubles.
En ambos casos b) y c), los respectivos subgrupos $E$ y $S$ son mínimos sujetos a ser normales, pero no centrales.
