$A$ es una matriz normal y tiene un valor propio distinto, y $AB=0$ . por qué $B$ ¿es la matriz normal?

Question

Dejemos que $A,B \in {M_n}$ suponer $A$ es una matriz normal y tiene un valor propio distinto, y $AB=0$ . por qué $B$ ¿es la matriz normal?

Answer 1

Si por "valor propio distinto" se entiende que todos ellos son distintos (en plural), observe que esto significa que $A$ tiene como máximo un valor propio cero. Como $AB=0$ , ya sea $A$ es no singular, lo que implica que $B=0$ (lo cual es normal), o $A$ tiene un valor propio cero.

Ahora, dejemos que $A = \operatorname{diag}(0, A')$ , donde $A'$ es una matriz normal no singular con valores propios distintos. Es fácil ver que $A$ es también una matriz normal con valores propios distintos. Además, dejemos que $B = \begin{bmatrix} e & 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}^T$ es decir, $B$ tiene todos los elementos de la primera fila iguales a $1$ , mientras que el resto son $0$ .

Observe que $$AB = \begin{bmatrix} 0 \\[1ex] & \Huge A'\\ \mbox{} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} = 0,$$ pero $$B^*B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \color{red}{\ne} \begin{bmatrix} n & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} = BB^*,$$ así que $B$ no es normal, lo que significa que su afirmación es generalmente incorrecta.

Answer 2

Como ha señalado Vedran, sus supuestos no implican que $B$ es normal. Sin embargo, si usted asume $BA = AB = 0$ entonces es cierto.

En concreto, supongamos que $A$ es singular. Entonces, como señaló Vedran, $0$ es un valor propio de $A$ de la multiplicidad $1$ . Desde $A$ es normal, $\ker(A) = \ker(A^*)$ (donde $A^*$ es la transposición conjugada). $B$ debe mapa $\ker(A)$ en sí mismo y $\ker(A)^\perp$ a $0$ . Así, $B = \lambda u u^*$ para algún escalar $\lambda$ y $u \in \ker(A)$ . Y luego $B B^* = |\lambda|^2 (u^* u) u u^* = B^* B$ , así que $B$ es normal.