Problema con la "Teoría de las Categorías" de Steve Awodey 8.5 Límites en categorías de diagramas

Question

Proposición 8.7. Para cualquier categoría local pequeña $\mathbb{C}$ la categoría de funtores $\mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}}$ está completo. Además, para cada objeto $C \in \mathbb{C}$ el functor de evaluación $$ev_C:\mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}} \to \mathbb{Sets}$$ conserva todos los límites.

Prueba. Supongamos que tenemos $J$ pequeño y $F:J \to \mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}}$ . El límite de $F$ si existe, es un objeto en $\mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}}$ por lo que es un functor, $$(\lim_{j \in J}F_j):\mathbb{C}^{op} \to \mathbb{Sets}$$ Por el lema de Yoneda, si tuviéramos tal functor, entonces para cada objeto $C \in \mathbb{C}$ tendríamos un isomorfismo natural, $$(\lim F_j)(C) \cong \mathrm{Hom}(yC,F_j)$$ Pero entonces se daría el caso de que $$ \mathrm{Hom}(yC, \lim F_j) \cong \lim \mathrm{Hom}(yC, F_j) \cong \lim F_j(C) $$ en $\mathbb{Sets}$ donde el primer isomorfismo se debe a que los funtores representables preservan los límites, y el segundo es de nuevo de Yoneda. Así, nos lleva a definir el límite $\lim_{j \in J}F_j$ para ser $$(\lim_{j \in J}F_j)(C)=\lim_{j \in J}(F_jC) \tag{8.4}$$ es decir, el límite puntual de los funtores $F_j$ . El lector puede averiguar fácilmente cómo $\lim F_j$ actúa sobre $\mathbb{C}-arrows$ y lo que es el cono universal, y nuestro argumento hipotético muestra entonces que es efectivamente un límite en $\mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}}$ .

Por último, la preservación de los límites mediante funtores de evaluación se establece mediante (8.4).

Tengo algunos problemas para escribir los signos de límite, así que he ignorado el $\leftarrow$ s por debajo del $\lim$ s porque no sé cómo apilar dos líneas de subíndices debajo de los signos de límite.

Estoy confundido con "nuestro argumento hipotético demuestra entonces que es efectivamente un límite". ¿Por qué se deduce esto del argumento hipotético? ¿Por qué no hay un cono general en $\mathbb{Sets}^{\mathbb{C}^{op}}$ de los cuales se debe verificar la propiedad de mapeo universal del límite?

Gracias.

Answer 1

Sin duda, esto falta en la prueba, pero aquí hay una justificación.

Observación: debido a Yoneda, basta con comprobar los límites en una categoría de funtores sobre los representables.

¿Por qué? Supongamos que $F\to F_j$ es un cono que satisface la propiedad universal para los mapas fuera de representables $\newcommand\C{\mathcal{C}}\C(-,A)$ . Supongamos que $X\to F_j$ es un cono. Sea $a\in X(A)$ . Según Yoneda, esto da un mapa $\C(-,A)\to X$ y, por tanto, un cono $\C(-,A)\to X\to F_j$ . Por supuesto, existe un mapa único $\C(-,A)\to F$ compatible con este cono, correspondiente a algún elemento $\tau_A(a)\in F(A)$ . Definir un mapa $\tau_A : X(A)\to F(A)$ por $a\mapsto \tau_A(a)$ .

A continuación, puede comprobar que el $\tau_A$ son naturales como $A$ varía, ya que si $f : A\to B$ , $\tau_B(a|_f)$ corresponde al mapa $\C(-,B)\xrightarrow{f^*} \C(-,A)\to X\to F$ , que es también lo que $f^*\tau_A(a)$ corresponde a. Así tenemos un mapa de funtores $\tau : X\to F$ .

Está claro por la construcción que $X\xrightarrow{\tau} F\to F_j$ devuelve nuestro cono original, y cualquier mapa $X\to F$ compatible con los conos debe enviar $a\in X(A)$ a $\tau_A(a)$ por la propiedad de unicidad de los mapas en $F$ en los representables.