Enumeraciones de los racionales y una propiedad de densidad refinada

Question

Dejemos que $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ sea una enumeración de todos los números racionales (esto es posible, ya que $\mathbb Q$ es contable) y que $y\in\mathbb R$ se le dará. Dado que $\mathbb Q$  es denso en $\mathbb R$ está claro que para todos los $\varepsilon>0$ existe alguna $n\in\mathbb Z_+$ tal que $|y_n-y|<\varepsilon$ .

Considere el siguiente refuerzo de esta propiedad: Dado cualquier $y\in\mathbb R$ existe alguna $n\in\mathbb Z_+$ tal que $|y_n-y|<1/n$ independientemente de la forma en que $\mathbb Q$  está enumerado.

Lo que me preocupa es que sea posible enumerar los racionales de una manera tan "elegante" que la unión de una colección de bolas abiertas con radios decrecientes a su alrededor cubra sólo un subconjunto estricto de $\mathbb R$ pero la afirmación sigue siendo intuitivamente cierta. Incluso si la afirmación es falsa para las enumeraciones generales, ¿se puede dar al menos uno tal enumeración para la cual esta propiedad se mantiene para todos $y\in\mathbb R$ ? ¿Qué opinas?

Answer 1

Bueno, el problema consiste en cubrir $\mathbb{R}$ con familia de bolas ${B_n}$ con radios $\frac{1}{n}$ y se centra en los racionales. En efecto, es posible enumerar los racionales de manera "elegante", ya que $[0, 1]$ contiene infinitos racionales, podemos "pasar arbitrariamente mucho tiempo" allí, y, digamos, para cada $2^n$ elementos de la secuencia colocan sólo uno fuera $[0, 1]$ .

En cuanto a la segunda pregunta: Creo que debería ser posible, aunque sospecho que es un poco complicado. Lo pensaré más tarde.

Edición: En realidad, no es tan difícil después de todo.

La idea se basa en el hecho de que ciertamente podemos proporcionar dicha cobertura si abandonamos el requisito de enumerar todos los racionales, ya que $\Sigma_n 1/n$ diverge. Del mismo modo, podemos hacerlo con bolas de la mitad de tamaño. Por lo tanto, podemos crear la enumeración deseada de la siguiente manera: dejemos que los elementos con índices pares se coloquen de manera que sus bolas cubran el $\mathbb{R}$ y que los elementos de impar enumeren los restantes racionales.

Edit2: No es del todo relevante, pero quizás sea de interés. Creo que es más cierto: toda enumeración de racionales contiene una subsecuencia con dicha propiedad. Podemos construir inductivamente tal subsecuencia "creciendo" el área cubierta, escogiendo elementos de intervalos de tamaño $\frac{1}{2n}$ fuera de la región cubierta (con algún solapamiento) con índice mayor que el de cualquier elemento tomado hasta ahora. Es posible, porque cada uno de esos intervalos contiene infinitos elementos de enumeración - equivalentemente, elementos con índices arbitrariamente altos.

(Por supuesto, dicha subsecuencia no será en general una enumeración de racionales)

Answer 2

Para cada enumeración $(y_n)$ , dejemos que $Y_{n}=(y_{n}-1/n,y_{n}+1/n)$ por cada $n$ .

puede ser posible enumerar los racionales de forma tan "elegante" que la unión de una colección de bolas abiertas con radios decrecientes a su alrededor cubra sólo un subconjunto estricto de $\mathbb R$ .

Esta es una forma de hacerlo.

Supongamos que $|y_n|\leqslant1$ excepto cuando $n$ es una potencia de $2$ . Entonces $Y_n\subseteq[-2,2]$ excepto cuando $n$ es una potencia de $2$ y la longitud de cada $Y_{2^k}$ es $2^{1-k}$ por lo que $\bigcup\limits_nY_n$ cubre como máximo $[-2,2]$ unión un conjunto de medida a lo sumo $\sum\limits_k2^{1-k}$ , que es finito. En particular, $\bigcup\limits_nY_n\ne\mathbb R$ .

se puede dar al menos uno tal enumeración para la cual esta propiedad se mantiene para todos $y\in\mathbb R$ ?

Uno puede, aquí hay un ejemplo.

Por cada $k\geqslant0$ , dejemos que $I_k=[-2^k,2^k]$ . Dejemos que $J_0=I_0$ y, para cada $k\geqslant1$ , $J_k=I_k\setminus I_{k-1}$ . Utilice $(y_{2n})$ para cubrir sucesivamente $J_k$ por cada $k\geqslant0$ por los intervalos $Y_{2n}$ . Una vez hecho esto, utilice $(y_{2n+1})$ para enumerar los números racionales restantes.

Entonces $(y_n)$ enumera los números racionales y $\bigcup\limits_nY_{2n}=\mathbb R$ .