¿Es el dual de Hodge el único mapa que conmuta con potencias exteriores de isometrías?

Question

Dejemos que $V$ ser un verdadero orientado $d$ -espacio del producto interno, $d \ge 3$ . Para $1 \le k \le d-1$ el mapa dual de Hodge $\star: \bigwedge^k V \to \bigwedge^{d-k} V$ conmuta con isometrías que conservan la orientación:

Por cada $Q \in \text{SO}(V)$ tenemos $$\star \circ \bigwedge^k Q= \bigwedge^{d-k} Q \circ \star \tag{1}.$$

Es $\star$ el único mapa lineal $\bigwedge^k V \to \bigwedge^{d-k} V$ satisfaciendo $(1)$ ¿hasta el escalamiento?

En el lenguaje de la teoría de la representación, me pregunto si el espacio de mapas equivariantes con respecto a las representaciones naturales de $ \text{SO}(V)$ en $\bigwedge^k V,\bigwedge^{d-k} V$ es unidimensional.

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En $d=2$ , $\star:V \to V$ no es, por supuesto, el único mapa hasta la escala que conmuta con todas las isometrías, ya que $\text{SO}(2)$ es conmutativo, tenemos elementos adicionales... (Por eso he restringido $d \ge 3$ ).

Answer 1

Esto es cierto a menos que $d$ es par y $k=d-k=\frac{d}2$ . Esto se deduce directamente de la descripción de la teoría de la representación que das en la pregunta utilizando el lema de Schur. A menos que $d$ es par y $k=\frac{d}2$ la representación $\Lambda^kV$ es irreducible y por tanto el isomorfismo a $\Lambda^{d-k}V$ es único hasta un múltiplo escalar.Si $d$ es par y $k=\frac{d}2$ entonces $\Lambda^kV$ es la suma directa de dos representaciones irreducibles no isomorfas (los dos eigenspaces de $*$ ) y se pueden elegir independientemente factores esclalares en los dos componentes (por lo que hay una familia de homomorfismos de dos parámetros).