¿Podría alguien mostrar explícitamente el siguiente paso?

Question

¿Cómo cambió el escritor de una integración a una doble integración, y cuándo puedo hacerlo?

Answer 1

Este no es en absoluto un movimiento típico. Como comentó @TheChaz, la integral interna produce el integrando de la integral externa, por integración directa. No se trata de integrales dobles, sólo de cómo integrar $e^{-tx}$ de $a$ a $b$ .

El punto de hacer esto es seguramente menos obvio... ¿Contexto?

EDITAR: recordar que $\int_a^b e^{tx}\;dt = {e^{bx}-e^{ax}\over x}$ .

Además, la característica peculiar de este tipo general de integral tiene un nombre buscable, "integral de Frullani". No es del todo trivial justificar la conclusión, pero lo que das es la heurística estándar, efectivamente.

Answer 2

Para responder a la pregunta,

$$\int_{a}^{b}e^{(-x)t}dt = \frac{e^{(-x)t}}{-x} \Bigl|^{b}_{a} = \frac{e^{-x(b)} - e^{(-x)a}}{-x} = \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x}$$

Así que el autor acaba de reescribir el lado derecho de la última ecuación como una integral. Como se ha señalado, este es un movimiento muy inusual.

Answer 3

Esta es una forma estándar de la integral de Frullani. (Puedes encontrar una prueba aquí y aquí ). Básicamente, dice que -

$$\int_{0}^{\infty} \frac {f(ax) - f(bx)}{x} dx = \left(f(0) - \lim_{n \to \infty} f(n)\right) \cdot \ln\left(\frac {b}{a}\right)$$

En su caso, $f(x) = e^{-x}.$ Tomando los límites podemos ver que la respuesta es $\ln(\frac {b}{a}).$