¿Demostración elemental del lema de Nakayama?

Question

El lema de Nakayama es el siguiente:

Dejemos que $A$ sea un anillo, y $\frak{a}$ un ideal tal que $\frak{a}$ está contenida en todo ideal maximal. Sea $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -módulo. Entonces, si $\frak{a}$$ M=M$ tenemos que $M = 0$ .

La mayoría de las pruebas de este resultado que he visto en los libros utilizan algunos resultados de álgebra lineal no triviales (como la regla de Cramer), y yo había llegado a creer que éstos eran ciertamente necesarios. Sin embargo, en el libro de Teoría Algebraica de los Números de Lang, me encontré con una demostración rápida utilizando sólo las definiciones y la inducción. Al principio me pareció que algo debía de estar mal: pensé que tal vez la prueba era más sencilla porque Lang suponía que todos los anillos eran dominios integrales, pero no utiliza esto en la prueba que da, por lo que puedo ver.

Aquí está la prueba, textualmente: Hacemos inducción sobre el número de generadores de $M$ . Digamos que M está generado por $w_1, \cdots, w_m$ . Existe una expresión $$w_1 = a_1w_1 + \cdots + a_mw_m$$ con $a_i \in \frak{a}$ . Por lo tanto, $$(1-a_1)w_1 = a_2w_2 + \cdots +a_mw_m$$ Si $(1-a_1)$ no es una unidad en A, entonces está contenida en un ideal maximal $\frak{p}$ . Desde $a_1 \in \frak{p}$ por hipótesis, tenemos una contradicción. Por lo tanto, $1-a_1$ es una unidad, y dividiendo por ella se obtiene que $M$ puede ser generado por $m-1$ elementos, concluyendo así la prueba.

¿Es el hecho de que $A$ ¿se supone que es un dominio que se ha colado aquí de alguna manera que me he perdido? ¿O se trata realmente de una demostración elemental del lema de Nakayama, en toda su generalidad?

Answer 1

Hay varias formas del lema de Nakayama. Aquí hay una bastante general; nótese que hace no implican ideales maximales y es un teorema constructivo (Atiyah-MacDonald, Commutative Algebra, Prop. 2.4 ff).

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -módulo, $\mathfrak{a} \subseteq A$ sea un ideal y $\phi \in End_A(M)$ tal que $\phi(M) \subseteq \mathfrak{a} M$ . Entonces hay una ecuación de la forma $\phi^n + r_1 \phi^{n-1} + ... + r_n = 0$ , donde el $r_i$ están en $\mathfrak{a}$ .

La prueba utiliza la igualdad $adj(X) \cdot X = \text{det}(X)$ para matrices cuadráticas sobre un anillo. Yo llamo a esto un hecho de álgebra lineal elemental. Por supuesto, allí sólo se demuestra para campos, pero el uso de campos de funciones implica el resultado para anillos generales. Si tomamos $\phi=\text{id}_M$ obtenemos la siguiente forma:

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -y dejar que $\mathfrak{a} \subseteq A$ sea un ideal tal que $\mathfrak{a} M = M$ . Entonces existe algún $r \in A$ tal que $rM = 0$ y $r \equiv 1$ mod $\mathfrak{a}$ .

En particular, obtenemos:

Dejemos que $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -y dejar que $\mathfrak{a} \subseteq A$ sea un ideal tal que $\mathfrak{a} M = M$ y $\mathfrak{a}$ está en todo ideal maximal de $A$ . Entonces $M=0$ .

Obsérvese que este argumento utiliza el lema de Zorn (a saber, que toda no unidad está contenida en un ideal maximal) y, por tanto, no es constructivo. Lo cual, por supuesto, no es sorprendente, ya que sin el lema de Zorn es consistente que haya anillos no triviales sin ningún ideal maximal. Esto debería convencerte de que la primera forma del lema de Nakayama es la más fácil y elemental. La última forma tiene otra prueba corta, que es estándar y se da en la pregunta anterior.

Aquí hay otra prueba corta bien conocida para la última forma, que también funciona si $A$ es no conmutativo (entonces tenemos que sustituir "ideal máximo" por "ideal máximo de la izquierda"): Supongamos que $M \neq 0$ . Desde $M$ es de generación finita, una aplicación del lema de Zorn muestra que $M$ tiene un submódulo propio máximo $N$ . Entonces $M/N$ es simple, por lo que es isomorfo a $A/\mathfrak{m}$ para algún ideal máximo de la izquierda $\mathfrak{m}$ . Entonces $N = \mathfrak{m} M = M$ , contradicción.

Por cierto, no sé si la primera forma es verdadera si $A$ es no conmutativo. La teoría de los determinantes no es realmente próspera sobre anillos no conmutativos. ¿Indicios?

En muchos textos sobre geometría algebraica sólo se necesita la última forma del lema de Nakayama. Pero la primera es más fuerte y se utiliza en muchos resultados del álgebra conmutativa.

Answer 2

Creo que la siguiente prueba es válida y evita tanto los determinantes como los ideales máximos. El coste es la inducción sobre todos los $A$ -módulos generados por $n$ elementos.

Nakayama. Dejemos que $J$ sea el radical de Jacobson. Sea $M$ sea una entidad finitamente generada $A$ -módulo satisfactorio $M=JM$ . Entonces $M=0$ .

Prueba. Inducción sobre el tamaño del conjunto generador. Si $M$ es generado por cero elementos entonces es cero. Supongamos que la afirmación es válida para los módulos generados por $n-1$ elementos y dejar que $M$ ser generado por $n$ elementos $m_1,\dots ,m_n$ . Entonces $m_n=\sum _{i=1}^n \varepsilon _im_i$ con $\varepsilon _i\in J$ así que $(1-\varepsilon _n)m_n=\sum_{i=1}^{n-1}m_i$ . Dividiendo por la unidad $1-\varepsilon _n$ obtenemos $m_n$ como una combinación lineal de $m_1,\dots ,m_{n-1}$ . Procediendo de esta manera encontramos $M=0$ .