Problema de prueba de la función generadora de números Bernoulli

Question

Una secuencia $(b_n)_n$ se da como $b_0 = 1$ y para cada $n \in \mathbb N$ $$\sum_{k=0}^n\binom{n+1}{k}b_k=0\tag{1}$$ La tarea es encontrar su función generadora exponencial $f(x)$

Desde $(1)$ obtenemos $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}b_k=\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}b_k+b_n=b_n$$

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{n!}x^n$$ $$f(x)e^x=\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{n!}x^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}x^n\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}b_k\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{b_n}{n!}x^n=f(x)$$

$$f(x)(e^x-1)=0$$ Ahora no sé qué hacer o si me he equivocado.

Answer 1

El error es muy sutil; la ecuación $(1)$ sólo es válida para $n\neq 0 $ lo que implica que $$\sum_{k=0}^n\binom{n}kb_k=b_n\tag{2}$$ sólo es válida para $n\neq 1$ . Ver que cuando $n=1$ , ecuación $(2)$ se convierte en $$ \sum_{k=0}^1\binom{n}kb_k=\binom10b_0+\binom11b_1=b_1+1\neq b_1 $$

La lección es que la mayoría de las veces, el LHS de $(2)$ es igual a $b_n$ pero cuando $n=1$ el LHS es igual a $b_1+1$ . Por lo tanto, a partir de $$ f(x)e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}kb_k\right), $$ casi todos los coeficientes entre paréntesis pueden sustituirse por $b_n$ pero el $n=1$ El término necesita una corrección: \begin{align} f(x)e^x &=b_0+(b_1+1)\frac{x^1}{1!}+\sum_{n=2}^\infty b_n\frac{x^n}{n!} \\&=f(x)+x. \end{align} De este modo, se puede resolver el problema de $f$ .