A la hora de integrar, ¿cómo elijo sabiamente entre Green, Stokes y Divergencia?

Question

Me han enseñado el Teorema de Green, el Teorema de Stokes y el Teorema de Divergencia, pero no los entiendo muy bien. En particular, no entiendo en qué circunstancias elegiría utilizar uno de ellos en lugar de los otros. ¿Qué criterios debería tener en cuenta para decidirme? En concreto, quiero utilizar los teoremas para que la integración sea lo más fácil o trivial posible.

Answer 1

En términos más sencillos, los teoremas integrales pueden describirse del siguiente modo:

El Teorema de Stokes iguala la integral simple de una función $f$ a lo largo del límite de una superficie con la integral doble de algún tipo de derivada de $f$ a lo largo de la propia superficie.

El Teorema de Gauss (también conocido como Teorema de Divergencia) iguala la integral doble de una función a lo largo de una superficie cerrada que es el límite de una región tridimensional con la integral triple de algún tipo de derivada de $f$ a lo largo de la propia región.

Así pues, la situación del Teorema de Gauss está "una dimensión por encima" de la situación del Teorema de Stokes, por lo que debería ser fácil averiguar cuál de estos resultados se aplica. Si ves una región tridimensional delimitada por una superficie cerrada, o si ves una integral triple, lo que quieres es el Teorema de Gauss. Por el contrario, si ves una región bidimensional delimitada por una curva cerrada, o si ves una integral simple (en realidad una integral de línea), entonces lo que quieres es el Teorema de Stokes.

Esto son sólo dos teoremas: ¿qué pasa con el Teorema de Green? De hecho, el teorema de Green es el caso especial del teorema de Stokes en el que la superficie se encuentra completamente en el plano. Por lo tanto, cuando se aplica el Teorema de Green, técnicamente también se está aplicando el Teorema de Stokes, aunque en un caso en el que se simplifican las fórmulas. Especialmente, cuando se tiene un campo vectorial en el plano, el rizo del campo vectorial es siempre un vector puramente vertical, por lo que tiene sentido identificarlo con una cantidad escalar, y esta cantidad escalar es precisamente la "derivada" que aparece en la integral doble del Teorema de Green.

Para más información sobre esta perspectiva del rizo de los campos vectoriales planos, véase este folleto . Para más información sobre el Teorema de Green (incluyendo dos formulaciones del mismo, una en términos de "flujo" y otra en términos de "divergencia" - esto parece más de lo que estás preparado por el momento, así que no lo he mencionado, pero quizás más adelante lo quieras/necesites) consulta este folleto . Para una revisión (posiblemente demasiado breve; lo siento) de estos tres teoremas, véase este folleto . Todos ellos proceden de un curso de cálculo multivariable de segundo curso que impartí a un grupo de estudiantes de ingeniería en la Universidad Concordia en 2004.

Answer 2

Todos estos teoremas tienen la misma propiedad: relacionan la integral sobre algún tipo de espacio con la integral sobre la frontera de ese espacio. En los ejemplos siguientes $A$ es algún tipo de espacio (de 2, 3, 4, etc. dimensiones) y $\partial A$ representa su límite. Por ejemplo, si $A$ es una superficie, entonces su límite es una recta. Si $A$ es un volumen, su límite es una superficie. Si $A$ es de 4 dimensiones, entonces su límite podría ser un volumen de 3 dimensiones.

He aquí algunos ejemplos concretos:

• Teorema de Green (convertimos la integral doble sobre una SUPERFICIE en una integral de línea alrededor de su LIMITE, una línea): $$\int\int_A \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dxdy = \oint_{\partial A} (Ldx + Mdy)$$

• Teorema de divergencia (convertimos la integral triple sobre un VOLUMEN en una integral de superficie alrededor de su LÍMITE, una superficie):

$$\int\int\int_V (\nabla \cdot F) dV = \int\int_{\partial V} (F \cdot n) dS$$

A continuación, un ejemplo instructivo:

• el teorema fundamental del cálculo (aquí convertimos una integral sobre un INTERVALO en una "integral" sobre su LÍMITE, los puntos extremos (la integración por la derecha se llama "integración sobre $0$ -forms", se escribe así para enfatizar el uso del límite de $[a,b]$ en el teorema fundamental regular del cálculo): $$\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a) = \int_{\{b,-a\}} f'$$

Todos estos teoremas tienen la misma "forma general" llamada "la teorema general de Stokes ":

$$\int_A df = \int_{\partial A} f$$

donde $df$ se define adecuadamente.

Todas las integradas de estos teoremas están relacionadas entre sí por lo que se denomina " derivada exterior " del " forma diferencial ". La "forma diferencial" es literalmente tu integrando (incluyendo el dx) y el cálculo de formas diferenciales explica cómo realizas un cálculo para llegar de un tipo de integrando a otro (cómo llegas de $\left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) dxdy$ a $Ldx + Mdy$ en el caso del Teorema de Green).

Los detalles aquí no son importantes, pero deberían ilustrarte que para utilizar estos teoremas, necesitas

1. Averigua en cuál estás "dentro" escribiéndolo de una forma que coincida con la de los teoremas.

2. Averigua cuál está relacionado con el que estás "dentro", es decir, el otro lado del signo "=" con el que estás "dentro".

3. Reescribe lo que tienes con respecto a aquello con lo que estás relacionado, normalmente tomando una derivada o encontrando antiderivadas.