Pregunta: Si $R$ es un anillo euclidiano y $\pi\in R$ es irreducible, demuestre que $\pi\mid\alpha\beta$ implica $\pi\mid\alpha$ o $\pi\mid\beta$ .
Una solución es demostrar que todos los anillos euclidianos son EPI, y luego demostrar que el lema de Euclides es verdadero en los EPI. Sin embargo, ¿hay una solución no es necesario demostrar $R$ es un PID y utilizar directamente la definición de anillo euclidiano? Y la solución puede no utilizar $gcd$ porque la existencia de $gcd$ no confirma sin la ayuda de PID.
Perdone mi pobre inglés.