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Lemma de Euclides para el anillo euclidiano.

Pregunta: Si $R$ es un anillo euclidiano y $\pi\in R$ es irreducible, demuestre que $\pi\mid\alpha\beta$ implica $\pi\mid\alpha$ o $\pi\mid\beta$ .

Una solución es demostrar que todos los anillos euclidianos son EPI, y luego demostrar que el lema de Euclides es verdadero en los EPI. Sin embargo, ¿hay una solución no es necesario demostrar $R$ es un PID y utilizar directamente la definición de anillo euclidiano? Y la solución puede no utilizar $gcd$ porque la existencia de $gcd$ no confirma sin la ayuda de PID.

Perdone mi pobre inglés.

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David HAust Puntos 2696

Sugerencia $ $ Si no es así $\exists$ irred $\,p\!:\ pc = ab,\ p\nmid a,b.\,$ A partir de estos contraejemplos con min $\,|p|\,$ elija uno con min $\,|a|.\,$ Entonces $\,|a| < |p|,\ $ si no $\,a\mapsto \bar a\, =\, a\ {\rm mod}\ p\, =\, a - rp\ne 0\,$ es un contraejemplo con $\,|\bar a| < |a|.\,$ Ahora $\,p\nmid b\,\Rightarrow\,a\,$ es una no unidad, por lo que tiene un factor irredento $\,q\mid a.$ Por $\,|p|\,$ mínimo y $\,|q|<|p|$ deducimos $\,q\mid pc,\ q\nmid p\,\Rightarrow\, q\mid c,\ $ así que $\ p(c/q) = (a/q)b\,$ es un contraejemplo con $\,|a/q| < |a|$ contra hipótesis.

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