¿Cuáles son algunos problemas interesantes en la intersección de la teoría algebraica de números y la topología algebraica?

Question

Soy un estudiante de posgrado principiante y aunque mi formación es principalmente en la teoría algebraica de los números, me he encontrado un poco enamorado del tema de la topología algebraica recientemente después de haber leído sólo algo de Hatcher (capítulos 1 y 2 y actualmente estoy leyendo el capítulo 3 y esto es actualmente el alcance de mi formación en topología).

Estoy tratando de hacerme una idea de qué tipo de problemas se encuentran en la intersección de estos dos campos, por ahora sólo para tener una dirección de qué tipo de fondo podría querer estar aprendiendo en el próximo año o así.

Me doy cuenta de que esta pregunta es bastante amplia, pero ¿tiene la teoría algebraica de números alguna buena aplicación a los problemas topológicos?

Answer 1

Consulte el trabajo de Vic Snaith en Inducción Brauer explícita .

Answer 2

Pruebe "Primes and Knots", de Toshitake Kohno y Masanori Morishita.

Answer 3

Existen aplicaciones de la teoría de campos ciclotómicos a acciones libres de grupos finitos sobre $S^n$ . La existencia de tales acciones está ligada a los grupos de clase de ciertos campos ciclotómicos $\mathbb{Q}(\mu_N)$ y sus subcampos reales máximos $\mathbb{Q}(\mu_N)^+$ .

Puedes encontrar una breve introducción a este concepto en la p265 de Lang's Units and Class Groups in Number Theory and Algebraic Geometry: http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183548780

He aquí algunas de las referencias pertinentes que cita:

J. MILGRAM, impar index subgroups of units in cyclotomic fields and applica- tiones, Springer Lecture Notes no. 854 (1981).

J. MILGRAM, Parcheando en cirugía y la solución del problema de la forma del espacio compacto problema de la forma espacial compacta.

D. KUBERT, El componente 2-primario del grupo de clase ideal en campos ciclotómicos campos ciclotómicos.

C. T. C. WALL, Classification of hermitian forms VI, Ann. of Math. 103 (1976) pp. 1-80.

Answer 4

Esto es algo de lo que me enteré ayer. En este artículo

Quínticos nodales en P^4.
B. van Geemen y J. Werner En: Arithmetic of Complex Manifolds; W.-P. Barth, H. Lange Eds. Springer LNM 1399, (1989) 48-59.

(encuentre una copia aquí: http://users.mat.unimi.it/users/geemen/publ.html ).

los autores calculan los números de Betti de ciertas variedades complejas lisas de Calabi-Yau utilizando una combinación de técnicas de topología algebraica y teoría de números. Si entiendo que primero reducen las ecuaciones a algún campo finito, luego combinando el uso de la cohomología etale, el teorema del punto fijo de Lefschetz y otras cosas reducen el problema a contar un conjunto finito de puntos.

Answer 5

¿Cohomología de Étale?