¿Cuáles son algunos problemas interesantes en la intersección de la teoría algebraica de números y la topología algebraica?

Question

Soy un estudiante de posgrado principiante y aunque mi formación es principalmente en la teoría algebraica de los números, me he encontrado un poco enamorado del tema de la topología algebraica recientemente después de haber leído sólo algo de Hatcher (capítulos 1 y 2 y actualmente estoy leyendo el capítulo 3 y esto es actualmente el alcance de mi formación en topología).

Estoy tratando de hacerme una idea de qué tipo de problemas se encuentran en la intersección de estos dos campos, por ahora sólo para tener una dirección de qué tipo de fondo podría querer estar aprendiendo en el próximo año o así.

Me doy cuenta de que esta pregunta es bastante amplia, pero ¿tiene la teoría algebraica de números alguna buena aplicación a los problemas topológicos?

Answer 1

La teoría de la homotopía cromática es uno de esos puntos de interacción entre ambas materias.

La historia de la teoría de la homotopía cromática es larga, pero una versión de la historia podría ser la siguiente. (Esta es muy abreviada, revisionista, insuficientemente referenciada y pasa por alto muchos aspectos y contribuciones de muchas personas).

• Se desarrolla la teoría de la (co)homología ordinaria y resulta ser una herramienta útil.

• Posteriormente, se desarrollan ciertas teorías de cohomología "generalizadas", como la teoría K y el bordismo. En cierto sentido, estas teorías se construyen a partir de la cohomología ordinaria, pero algunas de ellas parecen bastante capaces de filtrar información interesante, de decirnos hechos geométricos o de reensamblar alguna información de torsión desagradable en algo más accesible.

• Cambiando los papeles, las teorías de cohomología generalizada pueden estudiarse por sí mismas. Provienen de una categoría llamada categoría de homotopía estable (que es muy parecida a una categoría derivada de complejos de cadena), y cada una de ellas puede ser determinada por una cierta cantidad de datos que implican operaciones de cohomología. Muchos de estos datos pueden recuperarse observando cómo se comporta la teoría de la cohomología generalizada en determinados espacios (los espacios proyectivos y los espacios clasificatorios son los ejemplos canónicos).

• Después de mucho trabajo (con algunos de los nombres más importantes como Adams, Milnor y Quillen, aunque estoy dejando fuera muchos nombres importantes) se descubre, partiendo de un cálculo casi puro, que la categoría de homotopía estable tiene una conexión con la categoría de grupos formales unidimensionales, a través del estudio de las clases características.

• Estudios posteriores afirman esta conexión. Cada teoría de cohomología generalizada determina cierta cantidad de datos de grupos formales. Ciertas teorías que eran particularmente interesantes resultan tener datos de grupos formales particularmente interesantes. Ciertas herramientas computacionales tienen interpretaciones en términos de grupos formales.

• Entonces - el uso sistemático de esta interpretación, a través de cosas como la teoría BP y la secuencia espectral de Adams-Novikov, conduce a una mejor comprensión cualitativa de la categoría de homotopía estable, a nuevas conjeturas sobre los fenómenos que pueden ocurrir (por ejemplo, las conjeturas de Ravenel), a nuevas técnicas que son útiles desde el punto de vista computacional y a nuevos teoremas (por ejemplo, la solución de la mayoría de las conjeturas de Ravenel).

• Más tarde, estas cosas también encuentran conexiones con la física matemática, a través de una vía que pasa por la física matemática, los colectores de cuerdas, las formas modulares, las curvas elípticas y las leyes formales de grupo. Esto lleva al desarrollo de las teorías de cohomología elíptica y las formas modulares topológicas.

• Sin embargo, todavía tenemos muy poco conocimiento de por qué esta conexión surgió en primer lugar, y la mayoría de las formas de mostrar que existe en absoluto son a través de la computación pura. Siguen faltando herramientas constructivas.

Aquí es un enlace a los recientes apuntes del curso de Lurie sobre el tema; Mike Hopkins tiene una dirección de ICM sobre este tema que es bastante agradable; hay muchas otras referencias.

Answer 2

Echa un vistazo al libro de Machlachlan y Reid "The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds".

Dado que las estructuras hiperbólicas de volumen finito son únicas siempre que un $n$ -manifold ( $n\geq 3$ ) los tiene, cualquier invariante de la estructura hiperbólica es un invariante de la variedad. Las variedades hiperbólicas son $K(\pi,1)$ -por lo que no son sólo invariantes de difeo/homeomorfismo, sino invariantes de tipo homotópico.

Answer 3

La conjetura de Vandiver (sobre los números de clase) puede ser abordada a través del álgebra $K$ -teoría, que se define a través de la topología algebraica: la conjetura es equivalente a $K_n(\mathbb{Z}) =0$ cuando $n$ es un múltiplo de $4$ . Pero ese es un problema realmente difícil.

Answer 4

El campo de L-teoría La teoría K algebraica de las formas cuadráticas se encuentra en la intersección de la topología algebraica y la teoría de los números. Mi impresión es que se trata de una disciplina poco poblada, en parte porque requiere conocimientos de campos que la mayoría de los estudiantes de posgrado considerarían disjuntos. Creo que es profunda e interesante.

Un problema típico sería el cálculo de un grupo de cobordismo de alta dimensión (problema topológico). Se demostraría que es isomorfo a una extensión polinómica sobre los enteros, y el cálculo real consistiría en calcular los correspondientes grupos L para las correspondientes extensiones polinómicas sobre los racionales (teoría de números), y luego localizar para pasar a los resultados sobre los enteros.

Como referencia, recomendaría cualquier libro de Andrew Ranicki ( Teoría de nudos de alta dimensión es muy bonito, por ejemplo). Ver también la reseña de este libro .

Answer 5

Creo que todo el campo de la geometría anabeliana encaja en este caso, aunque quizá se centre más en ir al revés (es decir, aplicar la teoría de la homotopía a la teoría de los números). La geometría anabeliana es un "programa" lanzado por Grothendieck en su famoso Esquisse d'un Programme, y consiste en traducir problemas geométricos aritméticos a problemas de teoría de la homotopía.

Como ejemplo de un caso específico de la filosofía anabeliana, tenemos la célebre "conjetura de la sección" de Grothendieck, que afirma (en una forma) que para una curva "bonita $X$ sobre un campo numérico $F$ los puntos racionales están en biyección con las secciones de la secuencia exacta \begin{equation} 1 \rightarrow \pi_1(X_{\bar{F}}) \rightarrow \pi_1(X) \rightarrow G_F \rightarrow 1 \end{equation} donde $G_F$ es el grupo de Galois absoluto de $F$ y $\pi_1$ es el grupo fundamental algebraico (etale). En el caso de que la curva esté sobre los números complejos, el grupo fundamental etale $\pi_1$ es la terminación profinita del grupo fundamental regular, por lo que existe una conexión muy estrecha con el material clásico de Hatcher. La conjetura sigue siendo un problema muy abierto, pero cualquier prueba significaría que se podría comprobar algo de interés para la teoría de los números (la existencia de puntos racionales en las curvas) mediante el estudio de mapas entre ciertos grupos de homotopía generalizados.