Relaciones de conmutación de los generadores de simetría en SUSY

Question

Es bien sabido que los generadores $$ Q_\alpha = \frac{\partial}{\partial \theta^\alpha} - i \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \bar{\theta}^\dot{\beta} \partial_\mu $$ y $$ \bar{Q}_\dot{\alpha} = -\frac{\partial}{\partial \bar{\theta}^\dot{\alpha}} + i \theta^\beta\sigma^\mu_{\beta \dot \alpha} \partial_\mu $$

donde $\theta^\alpha$ , $\bar{\theta}^\dot{\beta}$ son variables de Grassmann, obedecen a las relaciones de anticonmutación

$$ \{Q_\alpha, \bar{Q}_\dot{\alpha}\} = 2i \sigma^\mu_{\alpha \dot \alpha} \partial_\mu $$ $$ \{Q_\alpha, Q_\beta\} = \{\bar{Q}_\dot{\alpha}, \bar{Q}_\dot{\beta}\} = 0 $$

Pregunta : Quiero verificar explícitamente esas relaciones de anticomutación, digamos por ejemplo $\{Q_\alpha, Q_\beta\} = 0$ .

Sin embargo, no soy capaz de reproducir ese resultado. Puedo llegar hasta lo siguiente:

$$ \{Q_\alpha, Q_\beta\} = \{\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}, \frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}\} - i \sigma^\mu_{\beta \dot \beta} \bar{\theta}^\dot{\beta} \{\frac{\partial}{\partial \theta^\alpha}, \partial_\mu\} - i \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \bar{\theta}^\dot{\beta} \{ \partial_\mu, \frac{\partial}{\partial \theta^\beta} \} - \sigma^\mu_{\alpha \dot \beta} \sigma^\nu_{\beta \dot \gamma} \{ \bar{\theta}^\dot{\beta} \partial_\mu, \bar{\theta}^\dot{\gamma} \partial_\nu \} $$

donde el último término desaparece debido a la anticonmutación de la $\bar{\theta}$ .

Cualquier ayuda sobre cómo proceder con el cálculo hacia el resultado deseado es muy apreciada.

Answer 1

Pistas:

1. $Q_{\alpha}$ y $Q_{\beta}$ superconmutan porque sólo están formados por objetos que manifiestamente superconmutan entre sí.

2. Por el contrario, $Q_{\alpha}$ y $\overline{Q}_{\dot{\alpha}}$ sólo no superconmutan porque las variables de Grassmann y sus correspondientes derivadas no superconmutan $$ \{\frac{\partial}{\partial \theta^{\alpha}},~ \theta^{\beta}\}_+ ~=~\delta_{\alpha}^{\beta},\qquad \{\frac{\partial}{\partial \overline{\theta}^{\dot{\alpha}}},~ \overline{\theta}^{\dot{\beta}}\}_+ ~=~\delta_{\dot{\alpha}}^{\dot{\beta}}. $$