¿Producto exterior/de cobertura de dos vectores como área?

Question

A menudo se dice que el producto exterior/de cuña de dos vectores representa un área, o área firmada con forma indefinida, y muestran una imagen de dos vectores en 2 dimensiones (podría ser i y j ) con un producto exterior que es el paralelogramo abarcado por los vectores, o un círculo con la misma área que el paralelogramo, o así; y se hace una conexión con el producto cruzado habitual, porque ambos productos exterior y cruzado tienen la misma magnitud escalar o área. Hasta aquí todo bien.

Ahora en 3 dimensiones en lugar de i y j tomemos los vectores u \=(0,853, -0,146, 0,5) y v \=(-0,146, 0,853, 0,5); estos vectores son sólo los i , j rotado, por lo que sólo son vectores unitarios que abarcan un ángulo de 90º. En cuanto al producto cruzado no ha cambiado nada esencial, volverá a ser un vector y su longitud será la misma área que con i y j . Pero según Wikipedia (Álgebra exterior, sección Productos transversales y triples) el producto exterior es ahora:

u v \= (u1-v2-u2-v1)( i j ) + (u2-v3-u3-v2)( j k ) + (u3-v1-u1-v3)( k i ) (dando tres coeficientes no nulos similares al producto cruzado),

sin embargo esto ya no se parece a un paralelogramo/área como en el caso de 2 dimensiones, se parece a tres paralelogramos/áreas yuxtapuestos o equivalentemente a un paralelepípedo/volumen.

Así que con los vectores generales en 3 dimensiones el producto exterior de dos vectores no parece representar un área, como SIEMPRE se muestra en los libros y documentos; o tal vez sí y estoy completamente equivocado y me faltan detalles importantes.

He investigado un poco pero no encuentro la solución. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

He publicado la pregunta porque no he podido encontrar una explicación visual de la "adición de área" en los libros y sitios web habituales. Gracias a la respuesta de Hans Lundmark y al comentario de Jean Marie, he investigado más y he podido entender por fin la adición de bivectores/exteriores/cuadros, así que intentaré responder visualmente a mi propia pregunta.

El producto bivector/exterior/borde u v de dos vectores u y v es un área plana con signo (orientado) de forma indefinida, una instancia de la cual es el paralelogramo P que determinan los vectores, ver Fig.1. La perpendicular a P con la misma magnitud que el área es el producto cruz/vector w .

Sucede que P es inclinado, por lo que no podemos definirlo con un solo bivector base i j necesitamos una adición especial de tres bivectores $a_{ij}$ i j + $a_{ik}$ i k + $a_{jk}$ j k , véase la Fig.2, donde los coeficientes o áreas $a_{ij}$ , $a_{ik}$ , $a_{jk}$ tienen los mismos valores que las componentes z, y, x del producto cruzado w . Nótese que esta similitud no significa que el vector w podría caber exactamente en la "caja" formada por los tres bivectores de la Fig.2; es decir, la "caja de bivectores" de la Fig.2 y la "caja de vectores" punteada de la Fig.1 son diferentes, por ejemplo el área horizontal $a_{ij}$ tiene el mismo valor que la coordenada vertical (no la horizontal) z de w .

Para sumar visualmente los tres bivectores/áreas, llamados $a_{ij}$ , $a_{ik}$ , $a_{jk}$ de ahora en adelante para simplificar, primero tomamos $a_{ij}$ y $a_{ik}$ en la Fig.3 y obtener el paralelogramo oscuro $a_{ij}$ + $a_{ik}$ que completa la cuña. Entonces deberíamos añadir $a_{jk}$ pero sucede que los paralelogramos $a_{ij}$ + $a_{ik}$ y $a_{jk}$ no comparte un lado, así que aprovechamos la forma indefinida de un bivector y transformamos $a_{jk}$ en $a_{jk}$ ', que tiene la misma superficie pero comparte un lado con $a_{ij}$ + $a_{ik}$ Ver Fig. 4. Ahora los sumamos completando de nuevo la cuña, y obtenemos el paralelogramo final P que es el mismo que en la Fig.1.

Dado u y v , ambos u v y w \= u v llevan la misma información (los coeficientes desnudos) de diferentes maneras. Quizás w (en forma de suma de tres coordenadas, el cuadro punteado en la Fig.1) es intuitivamente más fácil de visualizar en el espacio que u v (en forma de suma de tres paralelogramos/áreas, el cuadro de la Fig.2); por eso los bivectores parecen ser poco conocidos. Pero en algunas situaciones especiales podrían funcionar mejor que el producto cruzado, según he leído.

Answer 2

No importa si lo escribes como $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}$ o multiplicar todo, ese bivector representa el área orientada del paralelogramo abarcada por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ . En general, cuando se tiene un bivector en tres dimensiones se puede leer un vector a partir de los coeficientes, y el bivector representará el área orientada de un paralelogramo situado en el plano con ese vector como normal.

Sólo cuando se llega a cuatro (o más) dimensiones se puede tener no simple bivectores, es decir, bivectores que no pueden escribirse como el producto en cuña de dos vectores, por ejemplo $\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4$ .