¿cuándo es la potencia de un polinomio no negativo una suma de cuadrados?

Question

Hay polinomios que no son suma de cuadrados. Por ejemplo, Motzkin dio el ejemplo $x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2$ en 1967.

¿Existe un polinomio real $f\in{\mathbb{R}}[x_1,\ldots,x_n]$ en varias indeterminaciones que no es una suma de cuadrados sino $f^N$ es una suma de cuadrados para algún entero impar $N>0$ ?

Esta cuestión es interesante en el siguiente sentido. La noción de escribir polinomios no negativos $f$ como una suma de cuadrados es dar una prueba algebraica de la desigualdad $f\ge 0$ . Según el ejemplo de Motzkin, sabemos que esto no siempre es posible. Una forma de resolverlo es seguir a Artin y utilizar denominadores. Otra forma (que aprendí de D'Angelo) es demostrar que $f^{N}$ es una suma de cuadrados para algún impar $N$ .

Esta pregunta me hace pensar si esa técnica de considerar el radical de la suma de cuadrados es vacía.

Answer 1

He aquí un ejemplo explícito. El polinomio $f=x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4}-x^{2} y^{2}+1$ no es una suma de cuadrados (como se puede comprobar utilizando la prueba original de Motzkin o por ordenador). Por otra parte, el polinomio $f^3$ puede escribirse como una suma de cuadrados, $$f^3=c_1F_1^2+c_2F_2^2+\ldots+c_{19}F_{19}^2$$ donde los coeficientes $c_i$ y los polinomios $F_i$ se enumeran a continuación.

Supongo que debo mencionar el software que he utilizado para calcular esto, concretamente el paquete "SOS.m2" para Macaulay2. Este paquete tiene una función "getSOS" que escupe una representación de la suma de cuadrados de un polinomio dado. Véase esto enlace para más detalles. La cuestión es que el problema de encontrar dicha representación puede verse como un problema de programación semidefinida, y puede resolverse en un tiempo razonable si el grado es pequeño. En particular, esto da el algoritmo que mencionas para comprobar si un polinomio es no negativo.

EDIT: Si alguien está interesado, he subido el código de Macaulay2 aquí .

Ahora los coeficientes $c_i$ :

(c1..c19)=(146/17,146/17,146/17,4036391/1186250,4036391/1186250,4036391/1186250,
       74/25,1847624417319/1971413728310,431999528319079/461906104329750,
       1847624417319/1971413728310,1847624417319/1971413728310,431999528319079/
       461906104329750,431999528319079/461906104329750,8243/10693,1032024/
       1393067,16675964223443/35265267617884,16675964223443/35265267617884,
       389070/559013,16675964223443/35265267617884)

Y los polinomios $F_i$ :

(F_1,...,F_19)=(-459/3650 x^4 y^4-1071/3796 x^4 y^2-1071/3796 x^2
   y^4+x^2 y^2-17/73,-17/73 x^6 y^3-1071/3796 x^4 y^5+x^4
   y^3-459/3650 x^2 y^3-1071/3796 x^2 y,-1071/3796 x^5 y^4-17/73
   x^3 y^6+x^3 y^4-459/3650 x^3 y^2-1071/3796 x
   y^2,-65670975/137237294 x^5 y^4+8569925/68618647 x^3 y^6+x^3
   y^2-65670975/137237294 x y^2,8569925/68618647 x^6
   y^3-65670975/137237294 x^4 y^5+x^2 y^3-65670975/137237294 x^2
   y,x^4 y^4-65670975/137237294 x^4 y^2-65670975/137237294 x^2
   y^4+8569925/68618647,-175/629 x^5 y^3-175/629 x^3 y^5+x^3
   y^3-175/629 x y,x^4 y^2-421805182124/9238122086595 x^2
   y^4-80070895463/1231749611546,x^2
   y^4-1201063431945/17632633808942,-80070895463/1231749611546 x^6
   y^3-421805182124/9238122086595 x^4 y^5+x^2
   y,-421805182124/9238122086595 x^5 y^4-80070895463/1231749611546 x^3
   y^6+x y^2,x^5 y^4-1201063431945/17632633808942 x^3
   y^6,-1201063431945/17632633808942 x^6 y^3+x^4 y^5,-21157/107159
   x^5 y^3-21157/107159 x^3 y^5+x y,-21157/86002 x^5 y^3+x^3
   y^5,x^6 y^3,1,x^5 y^3,x^3 y^6)

Answer 2

La prueba original de Motzkin muestra que $x^4y^2 + x^2y^4 + z^6 - a x^2y^2z^2$ es psd y no sos para cualquier $a$ en el intervalo $(0,3]$ . Si se toma $a = .02$ decir, es razonablemente sencillo, aunque complicado, demostrar que $(x^4y^2 + x^2y^4 + z^6 - .02x^2y^2z^2)^3$ es una suma de cuadrados; de hecho, es una suma de cuadrados binomiales $(x^b y^c z^d - x^e y^f z^g)^2$ , donde $b+c+d=e+f+g=9$ . La idea es mirar cualquier monomio con un coeficiente negativo y convertirlo en el término medio de este cuadrado, de forma que los otros dos términos sigan estando en el politopo de Newton. Por ejemplo, un término del cubo dado es $-.06x^10y^6z^2$ que es "manejado" por $.03(x^6y^3 - x^4y^3z^2)^2$ . Es un poco complicado de resolver, pero me he convencido (al menos) de que es cierto.

Answer 3

Esto no responde a tu pregunta pero es más bien un comentario. En el documento "Solución integral del decimoséptimo problema de Hilbert" Gilbert Stengle da un ejemplo de una forma semidefinida positiva cuya potencia impar no es una suma de cuadrados. Sus ejemplos son de la forma $$x^{2k+1}z^{2k+1}+(z^{2k-1}y^2-xz^{2k}-x^{2k+1})^2$$ En el mismo trabajo se demuestra que para cualquier forma semidefinida positiva $F$ existe un polinomio $\phi$ de grado impar, con coeficientes que son sumas de cuadrados, que satisface $\phi(-F)=0$ . Ahora a cada $F$ se puede asignar un número $\nu(F)$ que es el grado más bajo posible de tal $\phi$ . Se calcula entonces que $$\nu(x^2y^4+y^2z^4+z^2x^4-3x^2y^2z^2)=\nu(x^4y^2+x^2y^4+z^6-3x^2y^2z^2)=3.$$ Al final plantea el problema de si se puede tener $\phi (u)=u^{\nu(F)}+\sigma$ (que coincide con la pregunta que haces), o por ejemplo, si puede existir una forma que no sea una suma de cuadrados pero el cubo de la misma sí. A juzgar por los artículos que citan al anterior, parece que la pregunta sigue abierta.