Consideremos la EDO $\frac{d^2x}{dt^2} = a x + b x^2$ , donde $a$ y $b$ son algunos parámetros. Me pregunto cómo puedo resolver esta EDO. Se agradece cualquier comentario o sugerencia.
Respuestas
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Multiplicando ambos lados por $\frac{dx}{dt}$ se obtiene
$$\frac{1}{2} \frac{d}{dt}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = \frac{d}{dt}\left(\frac{a}{2} x^2(t) + \frac{b}{3} x^3(t)\right)$$ y por integración
$$\left(\frac{dx}{dt}(t)\right)^2 = a x^2(t) + \frac{2b}{3} x^3(t)+ C$$ donde $C$ es una constante real. Por integración de nuevo se obtiene
$$\int_{x_0}^{x(t)} \frac{du}{\sqrt{a u^2 + \frac{2b}{3} u^3+ C}} = \pm(t-t_0)$$
Claude Leibovici
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Hay otra forma de resolver $$x'' = a x + b x^2$$ Cambiar las variables y escribir $$-\frac{t''}{[t']^3}= a x + b x^2$$ Reducción de la orden $(p=t')$ da $$\frac {p'}{p^3}=-(ax+bx^2)\implies p=t'=\pm \frac{1}{\sqrt{ a x^2+\frac 23 b x^3+ c_1}}$$ Ahora, te enfrentarás a las integrales elípticas.
Se pueden simplificar los cálculos escribiendo $$ a x^2+\frac 23 b x^3+ c_1=\frac{2 b}{3}\left(x^3+\frac{3 a x^2}{2 b}+\frac{3 c_1}{2 b} \right)=\frac{2 b}{3}(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$ donde $(\alpha,\beta,\gamma)$ son las raíces de la ecuación cúbica. Así que $$t'=\pm \sqrt{\frac{3}{2b}} \frac 1 {\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}}$$ $$\int\frac {dx} {\sqrt{(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)}}=-\frac{2}{\sqrt{\beta -\alpha }}F\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\beta -\alpha }}{\sqrt{x-\alpha }}\right)|\frac{\alpha -\gamma }{\alpha -\beta }\right)$$
Así, se tiene la ecuación implícita $$t+c_2=\pm \sqrt{\frac{6}{b(\beta-\alpha)}}F\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{\beta -\alpha }}{\sqrt{x-\alpha }}\right)|\frac{\alpha -\gamma }{\alpha -\beta }\right)$$
