$\aleph_1$ es un número cardinal, y $\omega_1$ es un número ordinal. Se utilizan para cosas diferentes, pero están muy relacionados. Incluso se podría decir que son el mismo conjunto, sólo que utilizado en contextos diferentes.
Los números cardinales se utilizan para contar el tamaño de los conjuntos. Si $\aleph_1$ corresponde al tamaño del conjunto de los números reales es algo que en la mayoría de los casos hay que suponga que específicamente como un axioma; por ejemplo, no es demostrable desde ZFC si $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son los mismos. La suposición de que son el mismo se denomina hipótesis de continuidad .
Si quieres ir un paso más allá y estipular que $\aleph_{n+1} = 2^{\aleph_n}$ para cualquier $n$ que tiene sentido, entonces eso se llama generalizada hipótesis de continuidad. En cualquier caso, no hay cardenales entre $\aleph_0$ y $\aleph_1$ .
Los números ordinales, en cambio, tratan de ordenar (como su nombre indica), más que de contar. El primer ordinal infinito se llama $\omega$ o $\omega_0$ y la primera incontable ordinal se llama $\omega_1$ . Sin embargo, entre esos dos hay un lote de diferentes ordinales (hay muchas formas diferentes de ordenar un conjunto contablemente infinito de objetos, incluso indistintos). De hecho, hay $\aleph_1$ muchos de ellos.
Los ordinales clasifican todos los posibles Bien ordenado Y aunque los números reales suelen estar totalmente ordenados, que exista un buen orden para ellos, y por tanto un tipo de orden ordinal, es de nuevo algo indemostrable y que debe asumirse como un axioma. Vale la pena señalar que la C de ZFC hace implica que existe un buen ordenamiento de los reales, pero no dice nada sobre qué tipo de orden podría ser, y no dice qué cardinalidad de $\mathfrak c$ es. Sólo que existe como un $\aleph$ .
