El espacio total de un $S^2$ sobre una superficie cerrada es una superficie reglada

Question

En la geometría compleja, una superficie compleja $S$ se llama superficie reglada si existe un mapa holomorfo $\pi:S\to C$ a una curva compleja $C$ tal que cada fibra es $\Bbb CP^1$ . Algunos ejemplos típicos son $\Bbb P(L\oplus \epsilon)$ donde $L\to C$ es un haz de líneas holomórfico y $\epsilon\to C$ es un haz de líneas complejo trivial.

¿Es cierto que para un suave $S^2$ -bundle $\pi:E\to B$ donde $B$ es una superficie de Riemann que $E$ ¿es una superficie reglada?

Answer 1

Supongo que lo que estás preguntando es si, dado cualquier suave, real $S^2$ -bundle $\pi:E\to B$ donde $B$ tiene una estructura compleja, existe una estructura compleja en $E$ tal que $\pi$ es una holomorfa $\mathbb{C}P^1$ -un paquete.

La respuesta es no. Hay productos no orientables $S^2$ sobre superficies de Riemann, que no llevan ninguna estructura compleja. Un ejemplo es empezar con el no orientable $S^2$ haz de la mano sobre $S^1$ (el toro de mapeo del mapa antipodal), que denotaré $\pi:E\to S^1$ y multiplicar por $S^1$ para obtener $\hat{\pi}:E\times S^1\to T^2$ . El espacio base puede recibir una estructura compleja, pero el espacio total no.

Answer 2

Pregunta: "¿Es cierto que para un haz S2 liso π:E→B donde B es una superficie de Riemann que E es una superficie reglada?"

Respuesta: Dejemos que $k$ sean los números reales y $K$ los números complejos.

Es bien sabido que si $C:=\mathbb{P}^1_K$ es la línea proyectiva compleja y $S^2_k$ la 2esfera real, existe un isomorfismo de las variedades reales lisas $\phi:C_k \cong S^2_k$ donde $C_k$ es la línea proyectiva vista como una superficie lisa real. El isomorfismo $\phi$ puede construirse utilizando la proyección desde el polo norte y el polo sur de $S^2_k$ .

Siempre que se tenga una fibración localmente trivial

$$\pi: E \rightarrow B$$

donde $B$ es una superficie de Riemann (compacta), $E$ una variedad proyectiva compleja y donde las fibras de $\pi$ son líneas proyectivas complejas, se deduce que hay una ganga localmente trivial de rango dos $F$ en $B$ con $E \cong \mathbb{P}(E^*)$ (esto se demuestra en el ejercicio II.7.10 de Hartshorne).

Si se tiene una solución suave (localmente trivial) $S^2_k$ -bundle

$$\pi: E \rightarrow B$$

con fibras $\psi_b:\pi^{-1}(b) \cong S^2_k$ se deduce que cada fibra es isomorfa, en forma de variedades reales lisas, a $C_k$ . Para $\pi$ para ser una superficie reglada hay que poner condiciones adicionales a los isomorfismos $\psi_b$ y el mapa $\pi$ . Para $E$ para que sea una variedad compleja se necesita una "estructura casi compleja integrable" (un endomorfismo del haz tangente $T_E$ )

$$J: T_E \rightarrow T_E$$

con $J^2=-1$ .

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_complex_manifold