Estoy leyendo la explicación de Ken Shoemake sobre los cuaterniones en el libro de David Eberly Física del juego . En él, define la matriz de rotación para un cuaternión $q = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} + w\mathbf{1}$ para ser el producto de dos matrices:
$\begin{align} \mathbf{Q\overleftarrow{Q}}^T &= \begin{bmatrix} w & -z & y & x \\ z & w & -x & y \\ -y & x & w & z \\ -x & -y & -z & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w & -z & y & -x \\ z & w & -x & -y \\ -y & x & w & -z \\ x & y & z & w \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{R} & 0 \\ 0 & xx + yy + zz + ww \end{bmatrix} \end{align} $
donde $ \mathbf{R} = \begin{bmatrix} ww - zz - yy + xx & -wz -zw + yx + xy & wy + zx + yw + xz \\ zw + wz + xy + yx & -zz + ww - xx + yy & zy - wx - xw + yz \\ -yw + xz - wy + zx & yz + xw + wx + zy & -yy - xx + ww + zz \end{bmatrix} $
Puedo seguir esto hasta ahora. $\mathbf{R}$ es fácil de ver a partir de las reglas de la multiplicación de matrices. Pero luego el libro continúa diciendo que porque la esquina inferior derecha de la matriz de bloques (es decir, $xx + yy + zz + ww$ ) es $\textrm{N}(q)$ y porque estamos preocupados por las rotaciones normalizadas $\textrm{N}(q) = 1$ , $\mathbf{R}$ puede simplificarse a
$ \begin{bmatrix} 1 - 2(z^2 + y^2) & 2(xy - wz) & 2(zx + wy) \\ 2(xy + wz) & 1-2(x^2 + z^2) & 2(yz - wx) \\ 2(zx - wy) & 2(yz + wx) & 1 - 2(x^2 + y^2) \end{bmatrix} $
No entiendo por qué los elementos de la diagonal principal se pueden simplificar de esta manera. ¿Cómo es que $x^2 + w^2 - y^2 - z^2 = 1 - 2(z^2 + y^2)$ ? ¿Funciona esto sólo porque $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1$ ?
