La ecuación accesoria de Jacobi tiene importancia como medio para comprobar los candidatos a extremos funcionales. Un libro mío ( $\textit{Calculus of variations}$ de van Brunt) demuestra que podemos encontrar soluciones a la ecuación accesoria de Jacobi diferenciando la solución general de la ecuación de Euler-Lagrange; es decir, si esta última tiene una solución general $y$ que implican parámetros $c_1, c_2$ entonces las funciones $$u_1(x) = \frac{\partial y}{\partial c_1}, \quad u_2(x) = \frac{\partial y}{\partial c_2}$$ evaluado en algún momento en particular $(c_1, c_2)$ son soluciones de la ecuación accesoria de Jacobi (dados los supuestos básicos de suavidad). Sin embargo, van Brunt sigue afirmando sin pruebas que $u_1, u_2$ $\textit{form a basis for the solution space}$ . ¿Puede alguien sugerir cómo se puede probar esto?
Respuesta
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Respuesta corta: Porque sólo hay dos parámetros en juego.
Respuesta larga: volvamos a la derivación de la ecuación accesoria. Consideremos la ecuación de Euler-Lagrange para $$J[y] = \int^b_a F(x,y,y') \,dx,$$ donde $y = y(x;c_1,c_2)$ es el minimizador, entonces $$\newcommand{\e}{\epsilon}g(\e) := J[y+\e v] = \int^b_a F(x,y+\e v,y'+\e v') \,dx.$$ Haciendo la expansión de Taylor en $\e= 0$ : $$ g(\e) = g(0) + g'(0)\e + \frac{1}{2}g''(0)\e^2 + O(|\e|^3), $$ donde $g(0)$ es sólo $J[y]$ , $g'(0) = 0$ para el minimizador, ahora $$ g''(0) = \frac{1}{2}\int^b_a \left(v^2 \frac{\partial^2 F }{\partial y^2} + 2vv' \frac{\partial^2 F }{\partial y \partial y'}+ v'^2 \frac{\partial^2 F }{\partial y'^2}\right)\,dx, \tag{1} $$ y $$ J[y+\e v] - J[y] = \frac{1}{2}\e^2\big(g''(0)+ O(|\e|)\big). $$ Por lo tanto, para $y$ siendo el minimizador del funcional, $g''(0)$ debe ser mayor o igual a $0$ . Ahora fijamos este minimizador $y$ , denotan $$ f(x,v,v') := v^2 \frac{\partial^2 F }{\partial y^2} + 2vv' \frac{\partial^2 F }{\partial y \partial y'}+ v'^2 \frac{\partial^2 F }{\partial y'^2}, $$ y la ecuación de Euler-Lagrange para (1) es $$ \frac{\partial f}{\partial v}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial v'}=0. $$ Simplificar lleva a: $$ \frac{\partial^2 F }{\partial y'^2} v'' + \frac{d}{dx}\frac{\partial^2 F }{\partial y'^2} v' + \left(\frac{d}{dx}\frac{\partial^2 F }{\partial y \partial y'} -\frac{\partial^2 F }{\partial y^2} \right) v = 0. \tag{2} $$ Ahora bien, se trata de una EDO lineal de segundo orden en $v$ para un específico $y$ . Si se asume la suavidad, por el teorema de existencia y unicidad para la oda lineal de segundo orden, el espacio de solución es bidimensional es decir, consta sólo de dos bases. Si el autor encuentra dos funciones que satisfacen esta ecuación, y además estas dos funciones son fáciles de decir que no son linealmente dependientes, entonces podría simplemente afirmar que forman una base para el espacio solución. Digamos que $u_1$ et $u_2$ son linealmente dependientes, para cada $x$ tenemos el mismo $k$ : $$ k\frac{\partial y}{\partial c_1} = \frac{\partial y}{\partial c_2}, $$ entonces $y = g(c_1 + kc_2)$ que dice que en realidad es un minimizador de un parámetro, no de dos.
