Cómo calcular los valores propios de una matriz $A = I_d - a_1a_1^T - a_2a_2^T$

Question

Tengo una duda sobre esta pregunta concreta del pasado examen de acceso a una universidad.

https://www.ism.ac.jp/senkou/kakomon/math_20190820.pdf

$d\geq 3$ , $I_d$ es una matriz de identidad, y tengo una matriz $A = I_d - a_1a_1^T - a_2a_2^T$ .

Aquí, $a_1 (\in R^d)$ et $a_2 (\in R^d)$ son la columna vectores unitarios que son ortogonales entre sí.

Entonces, cómo calcular todos los valores propios de $A$ ?

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He intentado resolver la ecuación propia como se indica a continuación:

$|A - \lambda I_d|$ = 0

$|I_d - a_1a_1^T - a_2a_2^T - \lambda I_d| = 0$

$|(I_d - \lambda)I_d - a_1a_1^T - a_2a_2^T| = 0$

pero después de eso, no sé qué hacer.

Answer 1

Utilice el hecho de que $u^Tv=u \cdot v$ Por lo tanto $u^Tu=\|u\|^2$ y anota lo siguiente:

• $a_ia_i^T$ es una matriz de rango uno.
• $a_i^Ta_j=0$ para $i \neq j$ porque se nos da que $a_i \perp a_j$ .
• $a_i^Ta_i=1$ porque se nos da que $a_i$ son vectores unitarios.

Reclamación: $A^2=A$ .

Prueba: Dejemos que $P_1=a_1a_1^T$ et $P_2=a_2a_2^T$ entonces $P_1P_2=a_1a_1^Ta_2a_2^T=0$ Asimismo $P_2P_1=0$ y como $P_i$ son matrices de proyección, por lo que $P_i^2=P_i$ (esto también se puede comprobar directamente). \begin{align*} A^2 & = (I-P_1-P_2)^2\\ &=I-2P_1-2P_2+P_1P_2+\color{red}{P_1^2}+P_2P_1+\color{blue}{P_2^2}\\ &=I-2P_1-2P_2+\color{red}{P_1}+\color{blue}{P_2}\\ & = I-P_1-P_2\\ &=A. \end{align*} Esto sugiere que los valores propios de $A$ son $0$ o $1$ .

Ahora considere \begin{align*} Aa_2 & =(I-a_1a_1^T-a_2a_2^T)a_2\\ &=a_2-a_1a_1^Ta_2-a_2a_2^Ta_2\\ & =a_2-0-a_2 && (\because a_1 \perp a_2 \& \|a_2\|=1)\\ & = 0. \end{align*} Así, $0$ es un valor propio con $a_2$ como el correspondiente vector propio.

Desde $d \geq 3$ esto significa que hay al menos un vector no nulo $u$ tal que $u \perp a_1$ et $u \perp a_2$ (lo mismo que decir $a_i^Tu=0$ ). Ahora considere, \begin{align*} Au & =(I-a_1a_1^T-a_2a_2^T)u\\ &=u-a_1a_1^Tu-a_2a_2^Tu\\ & =u-0-0 && (\because u \perp a_i)\\ & = u. \end{align*} Así, $1$ es también un valor propio con un vector propio $u$ .

Answer 2

Ampliar $\{a_1,a_2\}$ a una base ortonormal $\{a_1,a_2,\ldots,a_d\}$ de $\mathbb R^d$ . Entonces $$ Aa_i=(I-a_1a_1^T-a_2a_2^T)a_i= \begin{cases} 0,&i=1,2,\\ a_i,&i\ge3. \end{cases} $$ Por lo tanto, los valores propios de $A$ son $0$ (de multiplicidad $2$ ) y $1$ (de multiplicidad $d-2$ ) y el $a_i$ s son vectores propios de $A$ .

Answer 3

También podemos hacer el trabajo de la siguiente manera.

Tenga en cuenta que $U_1=a_1a_1^T,U_2=a_2a_2^T$ son simétricas reales, entonces son ortogonalmente diagonalizables.

$tr(U_1)=tr(U_2)=a_1^Ta_1=a_2^Ta_2=1$ et $rank(U_1)=rank(U_2)=1$ implican que $spectrum(U_1)=spectrum(U_2)=\{1,0,\cdots,0\}$ .

$U_1U_2=U_2U_1=0$ implican que $U_1,U_2$ son simultáneamente ortogonalmente similares a $diag((\lambda_i)_i),diag((\mu_i)_i)$ donde $\lambda_i\mu_i=0$ et $\lambda_i,\mu_i\in \{0,1\}$ .

Finalmente $A=I-U_1-U_2$ es ortogonalmente similar a $diag(I_{n-2},0_2)$ con $\ker(A)=span(a_1,a_2)$ et $\ker(A-I_n)=(span(a_1,a_2))^{\perp}$ .

EDITAR. En general, si $\{a_1,\cdots,a_k\}$ es un sistema ortonormal, entonces $I-\sum_{i=1}^ka_ia_i^T$ es la proyección ortogonal sobre $(span(a_1,\cdots,a_k))^{\perp}$ .

Answer 4

Otro enfoque, para añadir a la lista existente. Supongamos que se insiste en calcular los valores propios encontrando $|A - \lambda I_d|$ . Podemos hacerlo utilizando el Identidad Weinstein-Aronszajn (a veces llamada identidad determinante de Sylvester). En particular, hay que tener en cuenta que $A = I_d - a_1a_1^T - a_2a_2^T = I_d - MM^T$ , donde $$ M = \pmatrix{a_1 & a_2}. $$ De ello se desprende que para $\lambda \neq 1$ , $$ |A - \lambda I_d| = \left|(1 - \lambda)I_d - MM^T \right| \\ = (1 - \lambda)^d \left| I_d - (1-\lambda)^{-d}MM^T \right|\\ = (1 - \lambda)^d \left| I_2 - (1-\lambda)^{-1}M^TM \right|\\ = (1 - \lambda)^d \left| I_2 - (1-\lambda)^{-1}I_2 \right|\\ = (1 - \lambda)^{d-2} \left| (1-\lambda)I_2 - I_2 \right|\\ = (1 - \lambda)^{d-2} \left| -\lambda I_2 \right| \\ = \lambda^2 (1 - \lambda)^{d-2}. $$ Porque $|A - \lambda I_d|$ es un polinomio en $\lambda$ lo mismo debe ocurrir con $\lambda = 1$ .