Doble la cubierta de una de Klein-botella-esque Espacio

Question

Estoy tratando de completar el siguiente ejercicio encontré en una topología de libro: la Construcción de un espacio que es el camino a conectar con grupo fundamental de la igualdad de a $\langle r,s | r^2 s^3 r^3 s^2 = 1\rangle$, y encontramos una singular (conectado) doble-cubierta B. Encontrar algunos de presentación también para $\Pi_1(B)$.

Ahora el espacio que tenía en mente para Un fue un 10 de lados del polígono con bordes identificados, al igual que lo son en (digamos) la botella de Klein, los 2 primeros bordes identificados en la misma dirección, y también identificado con el 6º, 7º y 8º de los bordes en esa dirección, y el 3º, 4º, 5º, 10º y 10 de bordes identificados todos en la misma dirección. Entonces por Seifert Van-Kampen podemos quitar un pequeño disco en el centro del polígono para obtener el fundamental gp queremos. Sin embargo, estoy teniendo problemas imaginando cualquier tipo de sensato doble de la portada: alguien puede sugerir algo? Para algo como la botella de Klein es razonablemente fácil unirse a otra botella Klein en uno de los bordes para conseguir un toro, pero podemos hacer lo mismo aquí? Sólo tiene que añadir otra copia de Un asociado a la 1 de la arista (o todos los bordes)? No estoy del todo seguro de cómo funciona.

Me han etiquetado esto como tarea porque es un ejercicio, no tengo uno a la mano en caso de que sea relevante. Gracias! -Roy

Answer 1

Deje $G = \langle r,s | r^2 s^3 r^3 s^2 = 1\rangle$, el grupo fundamental de la $A$.

Por la correspondencia de Galois, el grupo fundamental de la $B$ debe ser isomorfo a un índice de dos subgrupos $H$$G$. Cualquier subgrupo de índice dos es normal, por lo $H$ es el núcleo de algunos surjective homomorphism $\varphi\colon G \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. A partir de la relación $r^2 s^3 r^3 s^2 =1$, podemos ver que $5 \varphi(r) + 5 \varphi(s) = 0$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por lo que la única posibilidad es $\varphi(r) = \varphi(s) = 1$. Llegamos a la conclusión de que ni $r$ ni $s$ ascensores de un bucle en la cubierta.

Así que el 1-esqueleto de la cubierta doble tiene dos vértices y cuatro bordes, como este:

El único de 2 células en $A$ ascensores para un par de 2-células en $B$, que se adjuntan como sigue:

Ahora puede utilizar esta celda complejo de conseguir una presentación para el grupo fundamental de la $B$.