problema de valor límite $-u''+u=\delta_y$ donde $u'(0)=u'(1)=0$

Question

Consideremos el problema de valor límite (BVP) $$-u''+u=\delta_y\;\text{on}\; I=(0,1)$$ $$u'(0)=u'(1)=0,$$ donde $y\in I$ , $\delta_y:H^1(I)\to\mathbb{R}$ definido por $\delta_y(v)=v(y)$ . Para todos los $y\in I$ encontrar una solución débil $u\in H^1(I)$ de la BVP.

Esto significa que tengo que considerar $$\int_0^1{u'(t)v'(t)+u(t)v(t)dt}=v(y)$$ para todos $v\in H^1((0, 1))$ y tal vez sea útil considerar $(0,y)$ et $(y,1)$ et $\int_0^y{u'(t)v'(t)+u(t)v(t)dt}=v(y)$ et $\int_y^1{u'(t)v'(t)+u(t)v(t)dt}=v(y)$ pero no estoy seguro. ¿Cómo puedo encontrar $u$ ?

Answer 1

Lo que hay que tener en cuenta es que $-u''+u=0$ para $x < y$ y para $x > y$ . Así que tienes que juntar las funciones propias. A la izquierda, se quiere $u'(0)=0$ y a la derecha quieres $u'(1)=0$ . Entonces las soluciones de estos problemas son $$ u(x)=A\cosh(x),\;\;\;\;\;\;\; 0 \le x < y \\ u(x)=B\cosh(x-1), \;\;\;\; y < x \le 1. $$ Entonces tienes que juntarlos en $y$ de manera que la función sea continua en $x$ en $x=y$ y la derivada tiene una discontinuidad de salto de $-1$ en $x=y$ . De esta manera $-u''$ te da una función delta. Hay dos condiciones $$ A\cosh(y)-B\cosh(y-1) = 0 \\ B\sinh(y-1)-A\sinh(y) = -1. $$ Es un sistema simple de 2x2 para $A$ , $B$ y el determinante de la matriz de coeficientes es un wronskiano que no desaparece. Así que todo está bien. Dejaré que se determinen los valores de $A$ et $B$ .

Answer 2

Se puede trabajar con la EDO directamente para obtener una solución "formal" y luego comprobar que satisface la forma débil de la ecuación. Una forma de hacerlo es utilizar la transformada de Laplace; la definición del delta de Dirac y de la transformada de Laplace nos dice que la transformada de Laplace de $\delta_y$ es $e^{-ys}$ . La transformada de Laplace del lado izquierdo es $-s^2U+su(0)+u'(0)+U=(-s^2+1)U+su(0)$ . Así que tienes

$$U=\frac{su(0)-e^{-ys}}{s^2-1}.$$

Puedes utilizar la descomposición de fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace para resolver esto para $u$ , manteniendo $u(0)$ como parámetro libre. Ya utilizamos $u'(0)=0$ Así pues, hay que elegir $u(0)$ para hacer $u'(1)=0$ . A continuación, debería comprobar que la solución satisface la ecuación débil (ya que la ecuación fuerte no tiene sentido puntual en $y$ ).