¿Es el pullback de una adjunción a lo largo de cualquier functor una adjunción?

Question

En $Cat$ : Si tomo el pullback de un funtor que tiene un adjunto a lo largo de cualquier functor, ¿tiene el funtor resultante un adjunto del mismo tipo (izquierda-derecha)? En caso afirmativo, ¿se comporta bien este adjunto con respecto al cuadrado original, es decir, hay conmutatividades no triviales hasta el isomorfismo?

En realidad tengo más información: Mi functor original $L : A \to Z$ es una sección de su unión derecha $R$ , con la unidad la identidad. Ahora tomando el pullback $L' : Z' \to B$ de $L$ a lo largo de algún functor $F : B \to Z$ se deduce de la propiedad de pullback que $L'$ es la sección de algún functor $R' :B \to Z'$ . Ya me alegraría si esto implica que $R'$ es un adjunto derecho de $L'$ .

Answer 1

No, no necesariamente. Por ejemplo, tomemos la inclusión $(1) \to (0\to 1)$ del objeto terminal en la categoría con dos objetos y un único morfismo de no identidad. Su retroceso a lo largo de la inclusión $(0)\to (0\to 1)$ del objeto inicial es el functor vacío $\emptyset\to (0)$ que ciertamente no tiene adjunto, ya que no hay funtores $(0)\to \emptyset$ pero la inclusión de un objeto terminal es siempre adjunto a la derecha del functor único en la categoría de un punto.

Esto es, en cierta medida, una cuestión de teoría de la homotopía. La realización geométrica de un adjunto entre categorías es una equivalencia homotópica de espacios topológicos, por lo que una explicación del hecho de que esto falle es que los pullbacks de las categorías no siempre preservan la equivalencia homotópica de las realizaciones geométricas.