Si $\sum_{i=1}^k \dim F_i > n(k-1)$ entonces $\cap_{i=1}^k F_i \neq \{0\}$

Question

Dejemos que $E$ ser un $n$ -y el espacio vectorial $F_1,\ldots, F_k$ sean subespacios lineales de $E$ tal que $$\sum_{i=1}^k \dim F_i > n(k-1)$$

Prueba $\displaystyle \cap_{i=1}^k F_i \neq \{0\}$ .

Este problema me parece bastante desconcertante. La condición $\sum_{i=1}^k \dim F_i > n(k-1)$ dice que $\sum_{i=1}^k \dim F_i$ está cerca de su mejor límite superior por lo que el $F_i$ tienen unas dimensiones relativamente grandes.

No he hecho ningún progreso en esto. Siento que hay algún truco involucrado.

Answer 1

Considere el mapa obvio

$$T \colon E \to \prod_{i = 1}^k E/F_i.$$

La fórmula del rango da

$$n = \dim E = \dim (\operatorname{im} T) + \dim (\ker T).$$

Tenemos

$$\dim (\operatorname{im} T) \leqslant \sum_{i = 1}^k \dim (E/F_i) = \sum_{i = 1}^k (n - \dim F_i) = nk - \sum_{i = 1}^k \dim F_i < nk - n(k-1) = n,$$

por lo que $\dim (\ker T) > 0$ .

Answer 2

Probablemente sea más fácil trabajar con codimensiones y no que la codimensión de la intersección sea como máximo la suma de codimensiones.