Probabilidad de acertar X tiros en N intentos sabiendo que la P(hit) es el ratio de aciertos anteriores

Question

Dejemos que $X$ sea el número de aciertos en $N$ intentos, sé que la probabilidad del siguiente acierto es $P(\text{Hit}) =X/N$ .

¿Cómo puedo obtener la expresión genérica de la función de distribución de probabilidad de golpear $x$ éxitos en $N$ intentos, sabiendo que la probabilidad de acertar el primer tiro es $p_1$ ?

He estado tratando de encontrar la solución a esto, sé por fuerza bruta que para $p_1 = 0.5$ la distribución es una constante ( $1/(N+1)$ Creo), cuando es mayor que 0,5 es una línea de pendiente positiva y menor que 0,5 una línea de pendiente negativa. Sólo que no sé cómo llegar matemáticamente a un resultado.

Edición: Aclaración. Supongamos que se conocen los dos primeros 6 disparos. Hubo 3 aciertos y 3 fallos, por lo que la probabilidad de que el séptimo disparo acierte es de 0,5. En caso de que se acierte, la probabilidad de acertar el 8º disparo sería $4/7$ . En caso de fallar, la probabilidad de acertar el octavo disparo sería $3/7$ .

Se me olvidó decir que cuando forzaba bruscamente suponía que los dos primeros disparos eran un acierto y un fallo, pero conocer cualquier secuencia de dos o más disparos previos sería necesario para que el problema tuviera sentido.

Answer 1

"Hubo 3 aciertos y 3 fallos, por lo que la probabilidad de que el 7º disparo acierte es de 0,5. "¿Quieres decir: "Hubo 3 aciertos y 3 fallos, por lo que mi estimación de la probabilidad de que el 7º disparo acierte es de 0,5. "

Se necesita algo más de información antes de poder responder a su pregunta. En primer lugar, ¿es el proceso estable? es decir, ¿la probabilidad real de acierto es constante o se desplaza con el tiempo?

En segundo lugar, ¿qué conocimiento previo tiene del proceso? Si puede codificar su conocimiento previo como una distribución de probabilidad de la incógnita P, los métodos bayesianos proporcionan una respuesta precisa a su pregunta.

En ausencia de conocimientos previos su pregunta no tiene respuesta. Pongámoslo así: supongamos que ya he planificado la secuencia infinita fallar, fallar, acertar, fallar, acertar, fallar... según algún capricho, entonces la primera $n$ Los resultados no dicen realmente nada sobre la $n+1^{st}$

Answer 2

Dejemos que $P(x, N)$ denotan la probabilidad dada $N$ tiros de hacer exactamente $x$ de ellos. Tenemos

$$P(x, N+1) = P(x-1, N)\cdot\frac{x-1}{N} + P(x, N)\cdot\frac{N-x}{N}.$$

---

A partir de $P(x, 6)=\mathbb{I}(x=3)$ como usted sugiere:

Tenga en cuenta que $P(2, N)=0$ para todos $N$ . Utilizando la recurrencia, $P(3, N+1)=0+P(3,N)\cdot\frac{N-3}{N}$ y así $P(3, N) = 1 \frac36 \frac47\frac58\frac69\dotsb\frac{N-4}{N-1}=\frac{60}{(N-3)(N-2)(N-1)}$ . No me imagino especialmente que haya una gran forma cerrada para el término general.

---

A partir de $P(x, 2)=\begin{cases}a,&\text{x=0}\\b,&\text{x=1}\\c,&\text{x=2}\end{cases}$ :

No he indicado cuidadosamente la recurrencia para valores pequeños, pero no es difícil ver que $P(0, N)=a$ et $P(N, N)=c$ para todos $N$ . Entonces resulta que $P(x, N)=b/(N-1)$ para todos $x\in(0, N)$ La distribución uniforme que ha sugerido antes (sobre todo teniendo en cuenta $a=c=0$ ). Esto es lo suficientemente bonito como para que haya una prueba hábil, pero todavía no la tengo. Se puede demostrar de una manera no tan hábil haciendo el cálculo para $P(1, N)$ , $P(N-1, N)$ y el resto de los casos por separado.