Resolver un sistema de ecuaciones/incorporaciones que tienen funciones trigonométricas en el lado izquierdo

Question

¿Se conoce algún método (simbólico) que resuelva un sistema de ecuaciones/incorporaciones que tengan funciones trigonométricas en el lado izquierdo del sistema?

Ex) Encontrar $x,y,\theta \in \mathbb{R}$ que satisfagan

\begin{align} 2x + y + 3\cos(\theta) - 2\sin(\theta) \le& 0 \\\ x - y + 4\cos(\theta) + 2\sin(\theta) \le& 0 \end{align}

Answer 1

Aquí hay una buena noticia para equilibrar la mala: si cada variable que aparece dentro de un $\sin$ o un $\cos$ está acotado, entonces hay algo muy cercano a un método para decidir tales problemas.

Un resultado básico es que la teoría de los números reales con la suma, la multiplicación y la función

$S(x) = \cases{0, |x|>1\\\ \sin(x), |x|\le 1}$

es fuertemente model-completo. Esto fue demostrado por Lou van den Dries, en un artículo titulado "On the Elementary Theory of Restricted Elementary Functions" (enlace: http://www.jstor.org/stable/2274572 ).

También existe un algoritmo real debido a Adam Strzebonski para decidir tales problemas, pero su corrección depende de la conjetura de Schanuel, que actualmente está abierta. (enlace: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=1576749 .)

Answer 2

Utilizando, por ejemplo, la función sen, se puede escribir un sistema de desigualdades en una variable dada $x$ que se satisface si y sólo si $x$ es un número entero. Por lo tanto, un algoritmo para resolver desigualdades del tipo que preguntaste daría un algoritmo de encontrar todas las soluciones enteras a un sistema arbitrario de desigualdades. Esto contradiría la solución negativa del Décimo Problema de Hilbert. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem