Si una línea cruza una curva en $n-1$ puntos racionales es el $n$ ¿también es racional?

Question

Estoy tratando de resolver el problema 5.40 del libro de Fulton sobre curvas algebraicas, que dice lo siguiente

Dejemos que $\mathbb{K}_0$ sea un subcampo de $\mathbb{K}$ y $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado. Supongamos un cúbico no singular $C$ es racional sobre $\mathbb{K_0}$ (todos los coeficientes que definen $C$ están en $\mathbb{K}_0$ ). Sea $C(\mathbb{K}_0)$ sea el conjunto de puntos de $C$ que son racionales sobre $\mathbb{K}_0$ . Entonces, si $P,Q\in C(\mathbb{K}_0)$ y $L$ la línea que pasa por $P$ et $Q$ se cruza con $C$ en un tercer punto $R$ , demuestran que $R\in C(\mathbb{K}_0)$ .

Aunque en la mayor parte del libro Fulton supone que $\mathop{Char}(\mathbb{K})=0$ No estoy seguro de si es necesario para resolver este problema ni de si lo necesitamos para el teorema de Bezout, pero creo que no lo es. A estas alturas del libro el teorema de Bezout y el de Noether ya están cubiertos.

Conozco una forma de resolver el problema poniendo la curva en forma de Weierstrass y calculando explícitamente $R$ pero no creo que funcione en caracteres $2$ et $3$ y el enunciado del problema sugiere que se puede demostrar sin recurrir a una construcción explícita de $R$ .

Además, ¿es este resultado cierto en general? Si una línea $L$ se cruza con un grado $n$ curva racional $F$ en $n-1$ puntos racionales, entonces el $n$ El punto de intersección también es racional.

Si $L$ se cruza con $F$ en $n-2$ puntos racionales esto no es cierto. Podemos ver esto estableciendo $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ , $\mathbb{K}_0=\mathbb{R}$ , $F=x^4-y$ et $L=y-1$ . Entonces tenemos $$ L\cdot_\mathbb{R} F = (1,1) + (-1,1), $$ mientras que $$ L\cdot_\mathbb{C} F = (1,1) + (-1,1) + (i,1) + (-i,1). $$

Answer 1

Consideremos una curva definida sobre un campo $F$ mediante una ecuación polinómica $f(x,y)=0$ de grado $n$ y una línea definida por una ecuación lineal $y=mx+c$ , de nuevo con coeficientes en $F$ . Sobre el cierre algebraico de $F$ definitivamente tendrán $n$ intersecciones, contando la multiplicidad, por supuesto.

Sin embargo, si $n-1$ de las intersecciones se definen sobre $F$ entonces el $n$ también se define sobre $F$ . Esto se debe a que la suma de los $x$ -coordenadas del $n$ puntos de intersección es el negativo del coeficiente $x^{n-1}$ en $f(x, mx+c)=0$ .

Answer 2

No sé si es cierto si $F \subset \overline{F}$ es inseparable, pero en el caso de que sea separable: el grupo de Galois $G = Gal(\overline{F}/F)$ actúa sobre los puntos de intersección actuando sobre las coordenadas, por lo que si el $n-1$ son racionales (lo que equivale a estar fijados por $G$ ), entonces el $n$ También se fija el punto 3 por $G$ tan racional.

En el caso de su ejemplo, $G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ actúa sus cuatro puntos transponiendo $(i,1)$ et $(-i,1)$ y la fijación de $(1,1)$ et $(-1,1)$ .