Por qué $ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{ (n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\frac{1}{k+1} $ ?

Question

¿Puede alguien explicar la siguiente ecuación?

$$\lim_{n \to \infty} \frac{ (n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\frac{1}{k+1}$$

Answer 1

$$\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}} = \frac{1}{n+1} \frac{1}{1-(1+1/n)^{-(k+1)}}$$

Taylor expande en el denominador en el RHS:

$$\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}} \approx \frac{1}{n+1} \frac{1}{1-(1-(k+1)/n)}=\frac{n}{n+1} \frac{1}{k+1}$$

El resultado se desprende de tomar el límite como $n\to\infty$ .

Answer 2

Aplicar la regla de L'Hôpital $k$ veces para conseguir $$\lim_{n \to \infty} \frac{ k!}{(k+1)!((n+1)-n)}=\frac{1}{k+1}$$

Answer 3

Esto equivale a uno de los pasos de @Ron que $$a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\sim a_mx^m$$ mientras que $x\to\infty$ . Así que $$\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}} \sim \frac{n^k}{(k+1)n^k}= \frac{1}{k+1},~~n\to\infty$$