Aproximación lineal para encontrar el volumen del peor caso de un cono

Question

Necesito ayuda con una pregunta de años anteriores. La pregunta me ha dado una función que describe la superficie de una estructura cónica 3D. Durante la construcción, se sabe que el cono puede construirse con hasta un 10% de error en el radio y un 5% de error en la altura. Debido a esto, se me pide que utilice una aproximación lineal para encontrar el peor caso de error porcentual en el volumen del cono. Puedo hacer la aproximación lineal bien, pero no estoy seguro de cómo obtener el radio y la altura de los conos necesarios para determinar los volúmenes a partir de la función dada.

$z = f(x,y) = 8 - \sqrt{4x^2 +8x+4y^2 -24y + 40} $

Answer 1

La clave está en factorizar la expresión dentro de la raíz cuadrada: $4x^2 +8x+4y^2 -24y + 40$ Podemos reescribirlo como $4x^2 +8x+4+4y^2 -24y + 36=4(x+1)^2+4(y-3)^2$

Así, podemos reescribir toda nuestra expresión como $z=8-2\sqrt{(x+1)^2+(y-3)^2}$

El único problema es que este cono no está acotado y es infinitamente grande, así que voy a suponer que el cono también está acotado por el plano $z=0$

Ahora debe quedar claro que para una determinada sección transversal tomada en $z=k$ para alguna constante $k$ nuestra sección transversal sería un círculo de radio $(8-k)/2$ lo que significa que nuestra base tendría un radio $4$ en $k=0$ y la altura de nuestro cono es $8$ ya que ese es el punto donde nuestra sección transversal tiene un radio de $0$