¿Se puede convertir una relación bien fundada en una ordenación bien cuajada?

Question

Un ordenamiento bien cuajado es una relación reflexiva y transitiva $\preceq$ tal para cualquier secuencia infinita de la forma $x_1,x_2,x_3,x_4,\dots$ , hay $i,j$ tal que $x_i \preceq j_i$ . Una relación bien fundada $R$ tiene la propiedad de que para cualquier secuencia infinita de la forma $x_1,x_2,x_3,x_4,\dots$ , hay $i$ tal que $\lnot x_i R x_{i+1}$ .

¿Existe alguna forma de asociar un ordenamiento bien cuasi-ordenado con una relación bien fundada dada? Su dominio no tiene que estar necesariamente en el mismo conjunto que la relación bien fundada.

Podríamos tener la tentación de utilizar simplemente $\lnot R$ pero esto puede no ser reflexivo o transitivo (de hecho, no lo será si $R$ es reflexivo). Podríamos tomar su cierre sobre la reflexión y la terminación, pero entonces podría seguir sin ser un orden bien cuasi-ordenado.

(Obsérvese que podemos obtener fácilmente de un $\preceq$ a $R$ . Basta con tomar el conjunto de secuencias finitas tales que no hay $i,j$ con $x_i \preceq x_j$ y la relación "es el principio de". Quizás esta operación tenga algún tipo de functor adjunto .)

Answer 1

Toda relación bien fundamentada tiene un auténtico ordenamiento, su rango. Podemos ver esto como un buen ordenamiento de subconjuntos del dominio de la relación, es decir, aquellos conjuntos de elementos de un rango determinado.

Aquí, el rango se define de la siguiente manera:

• El rango de toda la relación bien fundada $R$ en $X$ es el menor ordinal $\alpha$ tal que existe un mapa $f:X\rightarrow \alpha$ tal que para todo $a,b\in X$ tenemos $aRb\implies $ f(a)>f(b)$.

• El rango de un elemento $a\in X$ con respecto a $R$ es el valor más pequeño de $f(a)$ , como $f$ se extiende sobre los mapas que satisfacen la condición anterior.

En cierto sentido esto es trivial, pero me parece la única construcción natural. Mientras tanto, si exigimos que el dominio siga siendo el mismo para descartar este tipo de cosas, parece claro que no habrá ninguna: ¿qué ordenamiento bien cuasi-ordenado en $X$ asocia a la relación vacía en un conjunto $X$ ?

Answer 2

Si el ordenamiento es no vacío, ¿por qué no se puede dividir uno de sus elementos $x$ en dos elementos distintos $x_0,x_1$ tal que $x_0 \preceq x_1 \preceq x_0$ ? En general, se puede dividir cualquier elemento en cualquier número finito de copias. Y hay un error tipográfico en tu definición de bien-cuasi-ordenado.