Valor máximo de una función cuadrática

Question

Necesito ayuda con el siguiente problema: Encontrar el valor máximo de la función cuadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ en el intervalo $[0,1],$ donde $|f(-1)| \leq 1, |f(0)| \leq 1, |f(1)| \leq 1.$ ¡Gracias por todos los consejos!

Answer 1

En primer lugar, si, en $f(x)= ax^2+ bx+ c$ Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba, por lo que el máximo está en uno de los extremos. f(0)= c y f(1)= a+ b+ c. ¿Cuál es mayor?

Si a es negativo entonces el máximo está en el interior donde f'(x)= 2ax+ b= 0 por lo que en x= -b/(2a).

Answer 2

El máximo (y el mínimo) de cualquier función cuadrática sobre cualquier intervalo finito siempre se produce en uno de los puntos finales del intervalo o en el vértice.

Su pregunta no es clara porque podría interpretarse como encontrar el máximo para un $a,b,c$ o puede interpretarse como el máximo de todos los $a,b,c$ .

Para la primera interpretación:
Hay que dividirlo en casos separados definidos por condiciones en $a,b,c$ . El máximo será $f(0)=c$ , $f(1)=a+b+c$ o $f(-b/(2a))=c-b^2/(4a)$ . Sólo hay que averiguar cuál es el caso. Si $0<-b/(2a)<1$ y $a<0$ el máximo será $c-b^2/(4a)$ . En caso contrario, el máximo será $\max \{c,a+b+c \}$ .

Para esta última interpretación:
El máximo se produce en $0$ , $1$ o en el vértice si la coordenada x del vértice está en $[0,1]$ .
Ya se da que si el máximo está en $0$ ou $1$ entonces el máximo es a lo sumo 1. Por lo tanto, encuentre el valor máximo posible suponiendo que la coordenada x del vértice está en $[0,1]$ .
Hay varias condiciones:
$-1 \le a-b+c \le 1$
$-1 \le c \le 1$
$-1 \le a+b+c \le 1$
$0 \le -b/(2a) \le 1$
Resulta que el máximo es cuando $a=-1$ , $b=c=1$ y en ese caso, el vértice es $(1/2, 5/4)$ .
Así que el máximo es $5/4$ .