¿Cómo puedo encontrar el área de una curva general cerrada? (Y luego la generalización a múltiples dimensiones)

Question

1. Digamos que tengo una ecuación general donde $f$ es una función general:

   $$f(x,y)=0$$

   Si la función en el plano cartesiano forma una curva cerrada, ¿existe una forma general de encontrar el área limitada por la curva? O sólo es posible para algunas formas como círculos/elipses, por ejemplo.

2. Además, ¿qué pasaría si hiciera la misma pregunta, pero con

   $$f(x_1,x_1,x_3,...,x_n)=0$$

   ¿Habría una manera general de encontrar el (no sé muy bien cómo se llama esto) 'hipervolumen' si la función forma una forma cerrada en $\Bbb{R}^n$ ?

3. Finalmente, ¿sería siempre posible encontrar el área/hipervolumen del lugar de intersección de 2 curvas cerradas que se cruzan (aquí hago esta pregunta para $\Bbb{R}^2$ y luego para $\Bbb{R}^n$ )?

EDIT: Por desgracia, algunas de las respuestas que estoy recibiendo aquí parecen decir que $f(x, y)=0$ no es suficiente y necesito imponerle restricciones. Yo pretendía más bien una respuesta de tipo cálculo/integración.

No conozco la terminología para esto, pero asumo que $f$ puede expresarse en términos de $x$ , $y$ etc. utilizando funciones "básicas" como la suma, la multiplicación, la exponenciación, etc. Cosas que normalmente se permiten en el cálculo y que se pueden integrar/diferenciar.

Answer 1

En cuanto a la pregunta 1, si puede resolver $f(x,y)=0$ para una variable en términos de la otra o expresar los límites de integración como funciones de una sola variable, entonces puedes, por supuesto, utilizar los métodos que ya conoces para encontrar el área.

Otra forma es observar el área (con signo) "barrida" por el radio vector al atravesar la curva. Si puedes transformar la ecuación de la curva en forma polar $r=g(\theta)$ entonces esta área se puede encontrar integrando $\frac12r^2\,d\theta = \frac12g(\theta)^2\,d\theta$ . (Este integrando es simplemente el área de un triángulo rectángulo con lados $r$ y $r\,d\theta$ .) De forma más general, el área con signo encerrada por una curva viene dada en coordenadas cartesianas por la integral de línea $$\frac12\int_\Gamma x\,dy-y\,dx.$$ Para evaluar esto, generalmente hay que parametrizar la curva, lo que la convierte en una integral ordinaria.

Answer 2

Hay que imponer algunas restricciones a $f$ para que sus preguntas tengan sentido. También tiene que aclarar lo que entiende por "curva cerrada", y por su área. Tal vez "curva cerrada" sea lo suficientemente claro, probablemente estés hablando de una curva cerrada continua de Jordan, es decir, un subconjunto del plano que es homeomorfo al círculo. (Si no asumes la continuidad, entonces todo conjunto del plano es el conjunto de soluciones $f(x,y)=0$ donde $f$ es la función característica del complemento del conjunto).

Y lo que es más importante, supongo que cuando dices "área de esta forma" te refieres al área de la región delimitada por la curva, y no al área de la curva en sí. Esta distinción puede parecer superficial, ya que el área de la mayoría de las curvas (o de la mayoría de las curvas bonitas, por ejemplo, las diferenciables) es $0$ pero esto no es cierto para todas las curvas continuas y debe tenerse en cuenta.

Un ejemplo de curva (simple cerrada) con área positiva (la propia curva) fue construido por Osgood. Véase https://en.wikipedia.org/wiki/Osgood_curve donde se ofrece una referencia a su artículo original (disponible en línea) y más referencias.

La primera respuesta publicada (por @amd) ya te dice cómo usar una integral a lo largo de la curva para encontrar el área encerrada (para curvas bonitas). Personalmente no conozco algo más fácil, en general. Hay una buena conexión con el llamado problema del cuadrado inscrito de Toeplitz, no lo describiré en detalle, pero un buen estudio (sobre este problema en general) es Matschke, Benjamin (2014), "A survey on the square peg problem", Notices of the American Mathematical Society 61 (4): 346-253, doi:10.1090/noti1100 Y una relación interesante con el área delimitada por curvas se encuentra en los trabajos de Karasev (y coautores) y Makeev, a los que se hace referencia allí.

Answer 3

Esta no es una respuesta definitiva, sólo un par de observaciones pesimistas basadas en la suposición de que quieres empezar con una curva cerrada $$ C = \{(x, y) : f(x, y) = 0\} $$ y realizar algún procedimiento computacional sobre $f$ para obtener el área encerrada por $C$ :

1. El hecho de que $C$ es el lugar de una ecuación $f(x, y) = 0$ no es ninguna restricción: Cada subconjunto cerrado (en el sentido de la topología) del plano es el conjunto cero de una función continua. Si $C$ es "suave" (es decir, es un $1$ -submanifold incrustado), se puede elegir $f$ para ser infinitamente diferenciable con gradiente no evanescente a lo largo de la curva.

2. Para cualquier curva particular $C$ existe un espacio infinito de funciones que definen $C$ . Por ejemplo, si $\phi$ es una función arbitraria de valor real de una variable que desaparece sólo en $0$ entonces $g = \phi \circ f$ también define $C$ . Cualquier procedimiento exitoso debe devolver el mismo valor numérico para $f$ y $g$ .