Encuentra la mayor potencia de dos en la expresión.

Question

¿Cuál sería la mayor potencia de dos en la expresión dada?

$32!+33!+34!+35!+...+87!+88!+89!+90!\ ?$

Sé que hay 59 términos involucrados. También conozco las potencias de dos en cada término. He descubierto que $32!$ tiene 31 doses. Si quitamos 32! de cada término los 59 términos resultantes tienen 2 términos Impares y 57 términos pares. Así que es un número par de la forma $2K$ . Así que la mínima potencia posible de 2 será 32. Pero no sé cómo calcular el valor exacto. Seguramente, no podemos ir término por término.

¿Puede alguien arrojar luz sobre este asunto?

Answer 1

Simplemente has dejado de calcular un paso demasiado pronto. Has demostrado que esa expresión, con $32!$ dividido es divisible por $2$ pero si sólo se comprueba si es divisible por $4$ Verás que, efectivamente, no lo es. En particular, la expresión dividida sería $$\frac{32!}{32!}+\frac{33!}{32!}+\frac{34!}{32!}+\frac{35!}{32!}+\frac{36!}{32!}+\ldots+\frac{90!}{32!}$$ Ahora, toma este mod $4$ . Se eliminan todos los términos excepto los cuatro primeros, ya que $4$ divide a cada uno de ellos (ya que cada uno tiene $36$ como factor). Sin embargo, los cuatro primeros términos, mod $4$ son $1,\,1,\,2,\,2$ , que suma $2$ mod $4$ . Ergo, $2^{33}$ no divide la expresión original, y $2^{32}$ es, pues, la máxima potencia de dos que divide la expresión.

Answer 2

La suma $$32!+33!+34!+35!+ \dotsb +87!+88!+89!+90!=32![1+33+33\cdot 34+33\cdot 34\cdot 35+\dotsb]$$ La expresión $$1+33+33\cdot 34+33\cdot 34\cdot 35+\dotsb \equiv 0 \pmod{2}$$ pero $$1+33+33\cdot 34+33\cdot 34\cdot 35+\dotsb \equiv 2 \pmod{4}.$$ Así, todos los poderes de $2$ vendrá de $32!$ y sólo uno de la expresión entre corchetes. El mayor exponente de $2$ en $32!$ viene dada por $$16+8+4+2+1=31.$$ Así, el mayor exponente de $2$ será $32$ .

Answer 3

Puedes proceder de esta manera:

$$32!\left(1+33+34\cdot 33+35\cdot 34\cdot 33+\dots+\frac {90!}{32!}\right)$$

$32!$ tiene el factor $2^{31}$ y $1+33$ es de la forma $4k+2$ y ambos $34\cdot 33$ y $35\cdot 34\cdot 33$ son de la forma $4k+2$ y para todos los términos $36!\over 32!$ y mayor tenemos un divisor $2^2$ o mayor. Los tres $4k+2$ se obtiene una suma total de la forma $4k+2$ y, por tanto, dividiendo la suma total por $2^{32}$ producirá un número impar, por lo que podemos concluir que $2^{32}$ es la potencia máxima de $2$ que divide la suma especificada.