Dejemos que $f$ sea entero, de manera que $|f(z)|\le e^{|z|}\, \forall z\in\mathbb{C}$ y $|f(x)|\le1\,\forall x\in\mathbb{R}$ . Demostrar que $|f(x+iy)|\le e^{|y|}$ .

Question

Dejemos que $f$ sea una función entera. Supongamos que $|f(z)|\le e^{|z|}\, \forall z\in\mathbb{C}$ y $|f(x)|\le1\,\forall x\in\mathbb{R}$ . Demostrar que $|f(x+iy)|\le e^{|y|}\,\forall z=x+iy\in\mathbb{C}$ .

Recientemente hemos discutido en clase los mapeos conformes, los teoremas de las 3 líneas y los 3 círculos de Hadamard y el teorema de Phragmen-Lindelof.

¿Cómo se resuelve la pregunta anterior? Sé con certeza que $\mathbb{R}$ es el límite del semiplano superior $\mathbb{H}$ y eso es todo lo que sé. Gracias.

Answer 1

Teorema de Phragmen-Lindeloef (versión adecuada para esta pregunta):
Supongamos que $f$ es analítico en un cuadrante $Q$ y continua en $\overline{Q}$ . Si $|f(z)|\le 1$ en la frontera y si para algunos $\delta >0$ existe una constante $A$ y $B$ tal que $$ |f(z)|\le A\exp(B|z|^{2-\delta }) \quad \text{for every } z \text{ in the quadrant,} $$ entonces $|f(z)|\le 1$ en todo el cuadrante.

Ahora considere $g(z) = f(z)\cdot e^{iz}$ en el primer cuadrante. Tenga en cuenta que $|g(x)|=|f(x)||e^{ix}|=|f(x)|\le 1$ para todos $x\ge 0$ y $|g(iy)|=|f(iy)||e^{-y}|\le e^{y}\cdot e^{-y}=1$ para todos $y\ge 0$ . Además, para cada $z$ en el cuadrante, $$ |g(z)|=|f(z)|\cdot e^{-y}\le |f(z)|\le e^{|z|}.$$ Por lo tanto, $g(z)$ satisface $$ |g(z)|\le \exp(|z|^{2-\delta })$$ con $\delta =1$ y podemos concluir $|g(z)|\le 1$ en todo el cuadrante, por lo que $|f(z)|\le e^{y}$ .
Del mismo modo, tenemos $|g(z)|\le 1$ en el segundo cuadrante.

Para el medio plano inferior, considere $h(z)=f(z)\cdot e^{-iz}$ en lugar de $g(z).$