¿Por qué los gerbos viven en H^2?

Question

Paquetes de líneas en un esquema $X$ vivir en $H^1(X,O_X^*)$ , donde $O_{X}^{*}$ es la gavilla de funciones invertibles. Si $X$ es noetheriano separado, entonces podemos pensar en esto $H^1$ sea la cohmología de Cech con respecto a una cubierta afín abierta de $X$ . Podemos pensar en un haz de líneas como un principal $\mathbb{G}_{m}$ -bundle, donde $\mathbb{G}_{m}$ es el esquema de grupo multiplicativo, es decir, el resultado de Parcheando juntos, vía $\mathbb{G}_{m}$ -funciones de transición valoradas, piezas locales que parecen $ U \times \mathbb{G}_{m} $ para $U$ abrir en $X$ .

Pido disculpas si la pregunta parece trivial para las personas que tienen un conocimiento serio de la teoría de las pilas.

En primer lugar, tomemos la siguiente definición de "gerbe" (puede encontrarse en Wikipedia): un gerbe en $X$ es una pila $G$ de groupoides sobre $X$ que es localmente no vacía (cada punto de $X$ tiene un barrio abierto $U$ sobre la cual la categoría de la sección $G(U)$ del gerbo no está vacío) y transitivo (para dos objetos cualesquiera $a$ y $b$ de $G(U)$ para cualquier conjunto abierto $U$ existe un conjunto abierto $V$ dentro de $U$ de manera que las restricciones de $a$ y $b$ a $V$ están conectados por al menos un morfismo). Y en este contexto, creo que debemos añadir que, localmente sobre $X$ , $G$ debe ser isomorfo a $U\times B \mathbb{G}_{m}$ ( $B \mathbb{G}_{m}$ es la pila clasificadora de $\mathbb{G}_{m}$ ).

Me dijeron que $\mathbb{G}_{m}$ -gerbes más $X$ hasta la equivalencia corresponden a clases de cohomología en $H^2(X,\mathbb{G} _{m})$ . Me gustaría entender en términos concretos (Cech) por qué esta biyección debe tener lugar. En otras palabras: por qué el proceso de Parcheando clasificar los espacios (edición: más bien, clasificar pilas ) de un grupo implica pasar al segundo ¿Grupo de cohomología?

Answer 1

Tengo un par de cosas que decir.

En primer lugar, creo que su definición de gerbo es ligeramente incorrecta. Cuando dices que tu pila es localmente isomorfa a $U \times B\mathbb{G}_m$ este isomorfismo necesita preservar alguna estructura adicional. Podría estar bien para $\mathbb{G}_m$ -gerbes, por accidente, pero para los gerbos generales no abelianos tendrás problemas. (Puede que siga estando bien para $\mu$ -gerbes, donde $\mu$ es una gavilla de grupos abelianos sobre X).

Hay varias formas de añadir esta estructura extra, pero creo que las más comunes no son necesariamente las más esclarecedoras. El hecho es que $B\mathbb{G}_m$ es un objeto de grupo en las pilas y "actúa" en el gerbo sobre $X$ . El isomorfismo local a $U \times B\mathbb{G}_m$ debe respetar esta acción. Moralmente, se debe pensar en un gerbo como un haz principal con estructura "grupo" $B\mathbb{G}_m$ .

La razón por la que esta no es la forma más común de explicar lo que es un gerbo es que para hacerlo con precisión se requiere una cierta comodidad con las ecuaciones de 2 categorías y coherencia que la mayoría de la gente no parece tener. Sin embargo, los tiempos están cambiando. Al igual que en el caso de los haces principales ordinarios, se puede (en entornos agradables, digamos noetherianos separados) clasificarlos en términos de datos de Cech. Cuando se hace esto, se ve que la única parte importante son los datos de coherencia, que dan un ciclo de 2. Para los gerbos no eterianos se obtienen cosas no triviales que mezclan partes que parecen datos de un 1 ciclo y un 2 ciclo. Estoy de acuerdo con Kevin en que, a estas alturas, si realmente quieres entender estas cosas deberías completar el resto de los detalles por tu cuenta. ¡Es un buen ejercicio!

Si las categorías superiores le incomodan, puede ser más inteligente. Todavía puedes hacer una definición en la línea de la que esbozas precisa sin aventurarte en el mundo de las categorías superiores y los "objetos de grupo coherentes en pilas". Recomiendo el libro de Anton notas del curso sobre Stacks como lo enseña Martin Olsson. La sección 31 tiene una definición de $\mu$ -gerbes que es equivalente a la que he esbozado anteriormente, pero que evita los aspectos categóricos superiores. También hay una prueba de que tales gerbos se clasifican por $H^2(X; \mu)$ . Que lo disfrutes.

---

Sólo para reiterar. En un gerbo no se está Parcheando juntos clasificando espacios , estás Parcheando juntos clasificando pilas . A pesar de la notación común, hay una diferencia. Una pila es fundamentalmente un objeto de 2 categorías. Esto significa que hay que tratar con 2-morfismos y que pueden ser tan importantes como los 1-morfismos. Para $B\mathbb{G}_m$ los 1-morfismos (que conservan la multiplicación de la pila $B \mathbb{G}_m$ !!) son todos equivalentes, por lo que no hay datos de 1 ciclo de Cech en absoluto. Lo único que se obtiene son los datos de coherencia, que forman un 2-ciclo.

Esta es una de las razones por las que prefiero la notación $[pt/\mathbb{G}_m]$ para denotar la pila $B\mathbb{G}_m$ . Esto es especialmente importante en el entorno topológico, donde se trata de objetos realmente diferentes.

Answer 2

Un buen punto de vista es considerar los haces principales con el grupo de estructura $B\mathbb{C}^\times$ . Probablemente se puede tomar cualquier grupo abeliano de Lie en lugar de $\mathbb{C}^\times$ . Principal $B\mathbb{C}^\times$ -Los paquetes son una forma de dar un significado preciso a lo que llamas "Parcheando juntos los espacios de clasificación".

La cuestión es que existe un isomorfismo $$ H^1(X,B\mathbb{C}^\times) = H^2(X,\mathbb{C}^\times), $$ que explica la relación con el segundo grupo de cohomología. Básicamente se dice que el principal $B\mathbb{C}^\times$ -Los paquetes son el mismo como $\mathbb{C}^\times$ -gerbes.

Este isomorfismo se induce a partir de la secuencia exacta $$ 1 \to \mathbb{C}^\times \to E\mathbb{C}^\times \to B\mathbb{C}^\times \to 1 $$ de grupos, y el hecho de que la gavilla de $E\mathbb{C}^\times$ -funciones valoradas en un espacio paracompacto $X$ es suave. Todo esto está muy bien explicado en el artículo de Gajer Inventiones "Geometry of Deligne cohomology".