Previsión continua de Monte Carlo de series temporales - se necesitan detalles

Question

Sé que estoy haciendo una previsión a corto plazo de una serie temporal volátil utilizando Monte Carlo, pero no estoy seguro de los detalles; por ejemplo, estoy seguro de que tenía una muy buena razón para nombrar un término "deriva", ¡pero no puedo recordar por qué! No encuentro nada similar a lo que estoy haciendo cuando busco en Google la previsión de Monte Carlo. ¿Podría alguien ayudarme indicándome alguna bibliografía?

El pseudo-algoritmo es:

Ante datos de series temporales muy volátiles $x_0, x_1, x_2, ..., x_n$

1. Definir $z_1, z_2, ..., z_n = ln(x_1/x_0), ln(x_2/x_1), ln(x_3/x_2),..., ln(x_n/x_{n-1})$ .

2. Definir $\mu =$ media de $z$ ; $\sigma^2 = $ varianza de $z$ ; a la deriva $= \mu - \sigma^2/2$ .

3. Previsión mediante $x_{n+1} = x_n e^{d + \sigma R}$ donde $d$ es la deriva y $R$ es un número aleatorio generado a partir de la inversa de la fdc normal con media 0 y desviación estándar 1.

Answer 1

Si se considera un modelo de volatilidad simple como $$x_{t}=x_{t-1}\exp\{z_t\}$$ con $z_t\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ , lo consigues $$\log(x_{t+1}/x_t)=z_{t+1}$$ a partir de la cual se puede estimar $\mu$ y $\sigma$ . Ahora, porque $$\mathbb{E}[\exp\{z_t\}]=\exp\{\mu+\sigma^2/2\}$$ cuando $z_t\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ [referencia] se obtiene $$\mathbb{E}[\exp\{d+\sigma R\}]=\exp\{d+\sigma^2/2\}=\exp\{\mu-\sigma^2/2+\sigma^2/2\}=\exp\{\mu\}$$ cuando $R\sim\mathcal{N}(0,1)$ que convierte la previsión $$\hat{x}_{t+1}=x_t\exp\{d+\sigma R\}$$ en una autoregresión en el sentido de que $$\mathbb{E}[x_{t+1}|x_t]=\exp\{\mu\}x_t$$