subgrupos del grupo aditivo de Q que contienen el subgrupo Z

Question

Encuentra todos aquellos subgrupos del grupo aditivo Q que contienen al subgrupo Z.

Aquí Q significa el conjunto de los números racionales y Z se refiere al conjunto de los enteros. Este problema proviene del álgebra escrito por Saunders Mac Lane y Garrett Birkhoff, el último ejercicio del capítulo III sobre anillos. ¿Cómo se resuelve? Gracias.

Answer 1

Para cualquier función $f$ del conjunto de los primos al conjunto $(\mathbb N-\{0\})\cup\{\infty\}$ existe un subgrupo $S_f$ de la clase deseada que consiste en aquellos números racionales expresables como fracciones reducidas $\frac mn$ tal que, en la factorización prima del denominador $n$ cada primo $p$ ocurre menos de $f(p)$ tiempos. Si $f$ es la función constante $1$ entonces $S_f=\mathbb Z$ . Si $f$ es la función constante $\infty$ entonces $S_f=\mathbb Q$ . Opciones intermedias de $f$ te dan grupos intermedios. (Por ejemplo, si $f$ es la función constante $2$ entonces $S_f$ es el grupo de los números racionales con denominadores libres de cuadrados). Creo que estos subgrupos $S_f$ son todos los subgrupos entre $\mathbb Z$ y $\mathbb Q$ pero no tengo una prueba en este momento.

Answer 2

Andreas Blass tiene razón. Estos son todos los subgrupos en cuestión. Para ver esto primero observe que estos subgrupos están en biyección con los subgrupos de $\newcommand{\Q}{\Bbb Q}\newcommand{\Z}{\Bbb Z}\Q/\Z$ . Se trata de un grupo de torsión, por lo que es la suma directa de sus $p$ -torsión de potencia subgrupos: $$\Q/\Z=\bigoplus_p(\Q/\Z)_{p^\infty}$$ donde $$(\Q/\Z)_{p^\infty}=\bigcup_{n=1}^\infty(\Q/\Z)_{p^n}$$ y $G_{p^n}$ denota el $p^n$ -subgrupo de torsión del abeliano de torsión de torsión $G$ . Si $H$ es un subgrupo de $G$ puis $H=\bigoplus_p (H\cap G_{p^\infty})$ . Para ver esto, observe que para $h\in H$ . Entonces $nh=0$ para algunos entero $n$ . Escribe $n=p^kn'$ para $p\nmid n'$ puis $mh$ es el componente de $h$ en $G_{p^\infty}$ donde $n'\mid n$ y $m\equiv1\pmod{p^k}$ .

Para elegir un subgrupo de $\Q/\Z$ sólo tenemos que elegir uno de $(\Q/\Z)_{p^\infty}$ para todos $p$ . Pero los subgrupos propios de $(\Q/\Z)_{p^\infty}$ consisten en el $p^k$ -elementos de torsión para $k\in\{0,1,2,\ldots\}$ . Esto da la clasificación de Andreas.