Clase fundamental de $M\times N$

Question

(Hatcher 3.B.4) Demuestre que el producto cruzado de las clases fundamentales para las $R$ -colectores orientables $M$ y $N$ es una clase fundamental para $M\times N$ . Supongamos que $\dim M = m,\dim N = n$ .

Dejemos que $[M]$ y $[N]$ sean clases fundamentales de $M$ y $N$ respectivamente. Dado que $M,N$ son variedades orientables cerradas, por la fórmula de Kunneth, $$H_{m+n}(M\times N;\Bbb Z)\simeq H_{m}(M;\Bbb Z)\otimes H_n(N;\Bbb Z)$$ y este isomorfismo viene dado por el producto cruzado (homológico). Por lo tanto, $[M]\times [N]$ es un generador de $H_{m+n}(M\times N;\Bbb Z)$ . Ahora tengo que comprobar si $H_{m+n}(M\times N;\Bbb Z)\to H_{m+n}(M\times N-\{(x,y)\};\Bbb Z)$ mapas $[M]\times[N]\to \mu_{(x,y)}$ donde $\mu_{(x,y)}$ es una orientación local de $M\times N$ .

Pero, por cierto, ¿qué es una orientación local de $M\times N$ ? ¿Puedo expresarlo como orientaciones locales de $M$ y $N$ ? No tengo ni idea de cómo seguir adelante. ¿Podría ayudarme?

Nota. Se podría recordar el ejercicio 3.3.5 de Hatcher ( $M\times N$ es orientable si y sólo si $M$ y $N$ son ambos orientables). No conozco la prueba usando el argumento directo usando la definición (creo que es bastante complicado) pero conozco la prueba usando la cubierta orientable que no da la orientación local de $M\times N$ (Recuerdo que hay un post con esta pregunta).

Answer 1

Teorema 1: Dejemos que $A\subseteq_\text{open} X,\ B\subseteq_\text{open} Y$ . Consideremos los complejos de cadena realtivos $\mathcal C=C_*(X,A)$ y $\mathcal C'=C_*(Y,B)$ . Entonces hay una secuencia exacta corta natural dividida $$0\to \bigoplus_{p+q=n}H_p(X,A)\otimes H_q(Y,B)\xrightarrow{\text{cross product}} H_n(X\times Y,A\times Y\cup X\times B)\to \bigoplus_{p+q=n-1}\text{Tor}\big(H_p(X,A),H_q(Y,B)\big)\to 0$$

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Teorema 2: Para un colector $X$ de dimensión $d$ y $x\in X\backslash \partial X$ tenemos $H_n(X,X\backslash x)=\begin{cases} \Bbb Z &\text{ if }n=d,\\ 0 &\text{ otherwise.}\end{cases}$

Prueba: Utilizar el teorema de escisión considerando una bola de coordenadas cerrada $\overline B\cong \{z\in \Bbb R^d:|z|\leq 1\}$ con $x\in \text{int}(\overline B)$ .

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Corolario 1: Para dos colectores $M,\ \dim M=m$ y $N,\ \dim N=n$ con $x\in M\backslash \partial M,\ y\in N\backslash \partial N$ tenemos el isomorfismo $$H_m(M,M\backslash x)\otimes H_n(N, N\backslash y)\xrightarrow[\cong]{\text{cross product}} H_{m+n}\big(M\times N,M\times N\backslash (x,y)\big)$$

Prueba: Combine el Teorema 1 y el Teorema 2.

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Observación 1: Para dos colectores $M,\ \dim M=m$ y $N,\ \dim N=n$ con $x\in M\backslash \partial M,\ y\in N\backslash \partial N$ y orientaciones $\{\mu_p:p\in M\backslash \partial M\},\ \{\nu_q:q\in N\backslash \partial N\}$ tenemos el siguiente diagrama conmutativo

donde como siempre $x\in U\subseteq_\text{open}M$ y $\mu_U\in H_m(M, M\backslash U)\cong \Bbb Z$ es un generador tal que $\mu_U\longmapsto \mu_p$ para cada $p\in U$ bajo el mapa inducido de inclusión $H_m(M,M\backslash U)\to H_m(M,M\backslash p)$ . Del mismo modo, defina $\nu_V$ .

La flecha inferior es un isomorfismo debido a Corolario 1. Un razonamiento similar (argumento de producto cruzado) dice que la flecha superior también es un isomorfismo. La flecha de la izquierda es un isomorfismo debido a la elección de $U$ y $V$ mientras se definen las orientaciones. Ahora, la conmutatividad del cuadrado implica que la flecha de la derecha es un isomorfismo.

En otras palabras, $\{\mu_p\times \nu_q: p\in M\backslash \partial M, q\in N\backslash \partial N\}$ define una orientación para $M\times N$ .

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Teorema 3: Dejemos que $M,N$ sean dos variedades orientadas compactas con las clases fundamentales $[M]\in H_m(M,\partial M),\ [N]\in H_n(N,\partial N)$ .

Entonces, la clase fundamental $[M\times N]\in H_{m+n}\big(M\times N, \partial(M\times N)\big)$ es el mismo que el $[M]\times [N]$ .

Prueba: Considere $x\in M\backslash \partial M, y\in N\backslash \partial N$ entonces $(x,y)\in M\times N\backslash \partial(M\times N)$ . Por lo tanto, el mapa inductor de la inclusión $H_{m+n}\big(M\times N,\partial(M\times N)\big)\longrightarrow H_{m+n} \big(M \times N, M \times N \backslash (x, y)\big)$ es un isomorfismo. Ahora, considera el diagrama conmutativo de abajo.

La flecha inferior es un isomorfismo debido a Corolario 1. La flecha de la izquierda es un isomorfismo como $x\in \text{int}(M),\ y\in \text{int}(N)$ . Así, la flecha superior es un isomorfismo, es decir, el mapa de producto cruzado $H_m (M, \partial M ) \otimes H_n (N, \partial N )\xrightarrow{\times}H_{m+n} \big(M \times N, \partial(M \times N )\big)$ envía $[M]\otimes [N]$ a $[M\times N]$ .