En una clase anterior, utilizamos el siguiente teorema sin demostración:
Teorema : Dejemos que $f:(\mathbb{R}^n,|\cdot|)\to(\mathbb{R}^n,|\cdot|)$ sea diferenciable, donde $|\cdot|$ denota la norma euclidiana. Supongamos que el radio espectral del jacobiano de $f$ es menor que uno en algún subconjunto $U$ de $\mathbb{R}^n$ . Entonces $f$ es un mapeo de contracción en $U$ .
Con un poco más de experiencia en análisis que la que tenía cuando se me presentó este teorema, he intentado demostrarlo, pero me he quedado atascado. He demostrado lo que creo que es un paso necesario (que recuerda al utilizado en la demostración del caso $n=1$ ), donde si $\Vert Df\Vert\leq K$ en un subconjunto convexo abierto de $\mathbb{R}^n$ entonces $f$ es Lipschitz en ese subconjunto con la constante Lipschitz $K$ . Sin embargo, estoy atascado ahora en mostrar que $f$ es una cartografía de contracción.
He visto propuestas similares en las que si $Df$ es simétrica en $U$ entonces $f$ es un mapeo de contracción - la prueba sigue rápidamente en este caso, ya que entonces el operador norma $\Vert Df(x)\Vert$ es igual al radio espectral de $Df(x)$ . Sin embargo, en general no es así, y no he sido capaz de averiguar a dónde ir en el caso general - o si el teorema es incluso cierto sin esa suposición.
Mi pregunta - ¿son las condiciones que he puesto en $Df$ y $U$ en el teorema anterior es suficiente? ¿O hay más condiciones necesarias? (Es probable que necesitemos $U$ ser convexo para poder aplicar el lema que he demostrado). Si $Df$ no se requiere que sea simétrica / si no se requieren más condiciones en $Df$ para $f$ sea un mapeo de contracción, ¿cuál podría ser el primer paso a dar en la prueba?
