Prueba de $ |a-b| = |b-a| $

Question

Mientras elaboraba algunas cualidades intrigantes de los valores absolutos para mis estudios de cálculo, utilizaba con frecuencia la fórmula siguiente.

Sé que la fórmula que aparece a continuación es claramente correcta, pero ¿cómo podría demostrarlo? $$ |a-b| = |b-a| $$ $$ a,b \in\mathbb R $$

Creyendo que requería una prueba real para la fórmula que utilizaba tan a menudo, intenté demostrar esa fórmula "por casos". Sin embargo, parece que hay una prueba más elegante en alguna parte.

Gracias de antemano.

Answer 1

Me gusta usar eso $|x| = \sqrt{x^{2}}$ . Entonces $$|a-b|=\sqrt{(a-b)^{2}}=\sqrt{(a^2-2ab+b^2)}=\sqrt{(b-a)^{2}}=|b-a|.$$

Answer 2

Utiliza la definición de valor absoluto. Si $a-b \geq 0$ entonces: $$|a-b| = a-b = -(b-a) = |b-a|,$$ donde el último paso viene dado porque $a-b \geq 0 \implies b-a \leq 0$ y así $-(b-a) = |b-a|$ . Trata el otro caso de forma similar.

Answer 3

Sugerencia :

$$|a-b| = \begin{cases} a-b, & a - b > 0 \\ -(a-b), & a - b \leq 0 \end{cases}$$

$$|b-a| = \begin{cases} b-a, & b-a > 0 \\ -(b-a), & b-a \leq 0 \end{cases}$$

Answer 4

Si $a=b$ Esto es trivial. WLOG, supongamos que $a<b$ . Ahora $|a-b|=-(a-b)=b-a=|b-a|$ .

Answer 5

Sólo hay que ver cómo se define el valor absoluto: Para $x \in \Bbb R$ , $$ \vert x \vert := \begin{cases} x \; , & \text{if $x \geq 0$} \\ -x \; , & \text{if } x < 0\end{cases} \; .$$

Así que dejemos $a, b \in \Bbb R$ . Supongamos primero que $a > b$ entonces $a - b > 0$ y por la definición del valor absoluto obtenemos $$ \vert a - b \vert = a - b \; . $$ Desde $b - a < 0$ obtenemos por la definición del valor absoluto $$\vert b - a \vert = -(b-a) = a - b \; ,$$ por lo que concluimos que $$\vert a-b \vert = \vert b - a\vert \; ,$$ si $a > b$ . Haga lo mismo para el caso $b > a$ y nota, que el caso $a=b$ es trivial.